ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Как изменится осевой момент инерции некоторой системы материальных точек с уменьшением всех линейных размеров в два раза при одновременном увеличении массы в три раза?


Решение:


Положение цента масс системы, состоящей из $n$ материальных частиц, в общем случае определяется вектором

$\vec{r}_{C} = \frac{ \sum_{1}^{n} m_{k} \vec{r}_{k} }{ \sum_{1}^{1}m_{k} }$, (1)

где $m_{k}, \vec{r}_{k}$ - масса и радиус-вектор k-той частицы, входящей в состав системы.

Момент инерции системы материальных точек относительно оси, проходящей через центр масс равен

$J_{C} = \sum_{1}^{n} m_{k}r_{C}^{2}$. (2)

По условию задачи масса системы увеличивается в три раза, т.е.

$M_{1} = \int_{1}^{n} m_{k}, M_{2} = 3 \sum_{1}^{n} m_{k} = 3M_{1}$, (3)

а все геометрические размеры уменьшаются в два раза

$| \vec{r}_{C2}| = \frac{ | r_{C1}|}{2} \Rightarrow (r_{C2} )^{2} = \frac{r_{C2}^{2} }{4}$. (4)

Подставляя соотношения (4) и (3) в уравнение (2) получим

$J_{C2} = 0,75J_{C1}$, (5)

другими словами, момент инерции системы уменьшится на 25%.