ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Шайба, скользившая по гладкой поверхности льда с постоянной скоростью, попадает на шероховатую поверхность, коэффициент трения которой меняется по линейному закону по координате $x$: $\mu = \alpha x$, $x$ - координата, $\alpha$ - положительная постоянная величина. Определите тормозной путь шайбы.


Решение:


Кинетическая энергия шайбы расходуется на совершение работы против силы трения. В данном случае целесообразно использовать теорему об изменении кинетической энергии

$\frac{mv_{2}^{2} }{2} - \frac{mv_{1}^{2} }{2} = A_{1,2} \Rightarrow \frac{mv_{0}^{2} }{2} = F_{тр}L$,

где $L$ - путь, пройденный шайбой по шероховатой поверхности до остановки.

Элементарная работа силы трения определится следующим образом

$\delta A = \mu mg dx = \alpha x mg dx$.

Работа силы трения на перемещении $L$ определится интегралом последнего уравнения

$A = \int_{0}^{L} \alpha x mg dx = \left . \frac{mg \alpha x^{2} }{2} \right |_{0}^{L} = \frac{ \alpha mg L^{2} }{2}$.

Используя значения работы, получим

$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{ \alpha m g L^{2} }{2}, \Rightarrow L = \frac{v_{0} }{ \sqrt{ \alpha g} }$.