2016-11-25
Сквозь Землю по диаметру прорыли сквозную шахту. Пренебрегая вращением Земли и сопротивлением, определить характер движения тела, брошенного в шахту.
Решение:
Запишем закон Ньютона для тела в шахте на расстоянии $x$ от центра Земли:
$\vec{F} = m \vec{a}$. (1)
Можно показать, что сила со стороны внешнего шарового слоя толщиной $R - x$ равна нулю. Таким образом, сила, действующая на тело со стороны Земли:
$F = \frac{GMm}{x^{2}}$, (2)
где
$M = \frac{4}{3} \pi |x|^{3} \cdot \frac{M_{0}}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$ (3)
$M$ — масса Земли, сосредоточенная в шаре радиуса $|x|$ (плотность Земли $\rho = \frac{M_{0}}{ \frac{4}{3} \pi R^{3}}$ ).
Из (2, 3) с учетом $g = \frac{G}M_{0}{R^{2}}$ находим:
$F = \frac{mg}{R} |x|$. (4)
Спроецируем (1) на ось $x$:
$F_{x} = ma_{x}$. (5)
Непосредственно убеждаемся, что
$F_{x} = - \frac{mg}{R}x$ (6)
правильно описывает выражение для проекции силы $\vec{F}$ на ось $x$ (из рисунка видно, что при $x > 0 F_{x} < 0$, а при $x < 0 F_{x} > 0$).
Подставляя $a_{x} = x^{ \prime \prime}$ и (6) в (5), получаем:
$x^{ \prime \prime} + \frac{g}{R} x = 0$.
Это уравнение для гармонических колебаний с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{R}{g}}$. (7)
Таким образом, движение тела в шахте — гармонические колебания с периодом $T$ из (7).
Докажем, что гравитационная сила, действующая на тело внутри тонкой сферической оболочки, равна нулю.
Каждому малому фрагменту оболочки площадью $S$ соответствует фрагмент площадью $S^{ \prime}$. Из геометрических соображений следует:
$\frac{S}{S^{ \prime}} = \frac{r^{2}}{r^{ \prime 2}}$,
где $r$ и $r^{ \prime}$ — расстояния от тела до фрагментов $S$ и $S^{ \prime}$ соответственно. Обозначим массу на единицу поверхности оболочки через $\sigma$ и запишем закон всемирного тяготения для взаимодействия тела с фрагментами $S$ и $S^{ \prime}$:
$F = \frac{G \sigma Sm}{r^{2}}; F^{ \prime} = \frac{G \sigma S^{ \prime} m}{r^{ \prime 2}}$ (9)
($m$ — масса тела).
С учетом (8) из соотношений (9) находим: $F = F^{ \prime}$. Отсюда получаем искомое утверждение.
Поскольку шаровой слой можно представить как набор тонких сферических оболочек, приходим к утверждению о том, что сила со стороны шарового слоя, действующая на тело внутри его, равна нулю.