Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14643
2020-12-26 
Парашютист массой $m = 100кг$ производит затяжной прыжок с нулевой начальной скоростью относительно самолёта. Определите закон изменения его скорости от начала прыжка и до раскрытия парашюта, считая, что сила сопротивления со стороны воздуха пропорциональна скорости в первой степени: $F_{c} = kv$, где $k \simeq 20 кг/с$.
Решение:
На парашютиста, которого в данной задаче можно считать материальной точкой, действуют две вертикальные силы: сила тяжести и сила сопротивления, причём последняя зависит от скорости. Уравнение второго закона Ньютона на вертикальную ось представится следующим образом
$m \frac{dv}{dt} = mg - kv$. (1)
Преобразуем уравнение (1) к виду, более удобному для последующего интегрирования, т.е. разделим переменные
$- \frac{dv}{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} dt$,
или
$\frac{d \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) }{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} dt$. (2)
После интегрирования имеем
$\int \frac{d \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) }{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} \int dt$,
$ln \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) = - \frac{k}{m}t + C$. (3)
Постоянная интегрирования $C$ определяется начальными условиями, при $t = 0, v = 0$, т.е. $C = ln \frac{mg}{k}$. Уравнение (3) с учётом значения постоянной интегрирования перепишется в виде
$ln \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) = - \frac{k}{m} t + ln \frac{mg}{k}$. (4)
Разрешая далее уравнение (4) относительно скорости, получим закон её изменения во времени
$v = \frac{mg}{k} \left ( 1- e^{- \frac{k}{m}t } \right )$. (5)
Уравнение для скорости (5) показывает, что при длительном времени движения скорость асимптотически стремится к своему максимальному значению. Действительно, полагая $t \rightarrow \infty$, получим
$v_{max} = \frac{mg}{k} \simeq 50 \frac{м}{с}$. (6)
Парашютист массой $m = 100кг$ производит затяжной прыжок с нулевой начальной скоростью относительно самолёта. Определите закон изменения его скорости от начала прыжка и до раскрытия парашюта, считая, что сила сопротивления со стороны воздуха пропорциональна скорости в первой степени: $F_{c} = kv$, где $k \simeq 20 кг/с$.
Решение:
На парашютиста, которого в данной задаче можно считать материальной точкой, действуют две вертикальные силы: сила тяжести и сила сопротивления, причём последняя зависит от скорости. Уравнение второго закона Ньютона на вертикальную ось представится следующим образом
$m \frac{dv}{dt} = mg - kv$. (1)
Преобразуем уравнение (1) к виду, более удобному для последующего интегрирования, т.е. разделим переменные
$- \frac{dv}{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} dt$,
или
$\frac{d \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) }{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} dt$. (2)
После интегрирования имеем
$\int \frac{d \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) }{ \frac{mg}{k} - v } = - \frac{k}{m} \int dt$,
$ln \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) = - \frac{k}{m}t + C$. (3)
Постоянная интегрирования $C$ определяется начальными условиями, при $t = 0, v = 0$, т.е. $C = ln \frac{mg}{k}$. Уравнение (3) с учётом значения постоянной интегрирования перепишется в виде
$ln \left ( \frac{mg}{k} - v \right ) = - \frac{k}{m} t + ln \frac{mg}{k}$. (4)
Разрешая далее уравнение (4) относительно скорости, получим закон её изменения во времени
$v = \frac{mg}{k} \left ( 1- e^{- \frac{k}{m}t } \right )$. (5)
Уравнение для скорости (5) показывает, что при длительном времени движения скорость асимптотически стремится к своему максимальному значению. Действительно, полагая $t \rightarrow \infty$, получим
$v_{max} = \frac{mg}{k} \simeq 50 \frac{м}{с}$. (6)
