ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-26   
Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения бруска о плоскость зависит от пройденного им пути $x$, как $\mu = kx$, где $k$ - постоянная. Найдите путь, пройденный бруском до остановки.


Решение:


Уравнение второго закона Ньютона на направление перемещения имеет вид

$mg \sin \alpha - kxmg \cos \alpha = ma$,

откуда

$a = \frac{dv}{dt} = g \sin \alpha - kxg \cos \alpha$. (1)

Для определения скорости уравнение (1) необходимо проинтегрировать, выполнив предварительно следующие преобразования

$v = \frac{dx}{dt}, \Rightarrow dt = \frac{dx}{v}, \Rightarrow vdv = (g \sin \alpha - kxg \cos \alpha )dx$,
$\int vdv = \int g \sin \alpha dx - \int kxg \cos \alpha dx$,
$\frac{v^{2} }{2} = g \sin \alpha \cdot x - kg \cos \alpha \frac{x^{2} }{2}, v^{2} = 2g \sin \alpha \cdot x - kg \cos \alpha \cdot x^{2}$,
$v = \sqrt{2g \sin \alpha \cdot x - kg \cos \alpha \cdot x^{2} }$. (2)

Путь, пройденный до остановки, определится из условия равенства нулю скорости бруска, т.е.

$v = 0, \Rightarrow 2g \sin \alpha \cdot x - kg \cos \alpha \cdot x^{2} = 0$,
$x_{max} = \frac{2tg \alpha }{k}$. (3)