ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-25   
На сколько отстанут маятниковые часы, поднятые на высоту Эвереста — $H = 8,9 км$?


Решение:


Обозначим через $T_{0}$ период колебаний маятника вблизи поверхности земли (на уровне моря), через $T_{1}$ — на высоте $H$.

За время суток $\tau = 24 ч$ маятник, поднятый на высоту $H$ совершит:

$n = \frac{ \tau}{T_{1}}$ (1)

колебаний. Поскольку за каждое колебание стрелка часов передвигается на время $T_{0}$, (так как часы проградуированы на уровне моря), показания часов через сутки будут:

$\tau_{1} = nT_{0} = \tau \frac{T_{0}}{T_{1}}$. (2)

Отставание часов за сутки

$\Delta \tau = \tau - \tau_{1} = \tau \left ( 1 - \frac{T_{0}}{T_{1}} \right )$. (3)

Запишем дважды выражения для периода колебаний вблизи поверхности земли и на высоте $H$:

$T_{0} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g_{0}}}$ (4)
$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g_{1}}}$, (5)

и, соответственно, для ускорений свободного падения:

$g_{0} = \frac{GM}{R^{2}}$ (6)
$g_{1} = \frac{GM}{(R+H)^{2}}$, (7)

где $R$ — радиус Земли.

Из (1—7) после несложных вычислений с учетом $H \ll R$ находим:

$\Delta \tau = \frac{H}{R} \tau = 2 мин$.