Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14639
2020-12-26 
Тело массы $m$, расположенное на гладкой горизонтальной плоскости. Начинает движение под действием силы, изменяющейся во времени $F = kt$, где $k$ - постоянная величина. Направление силы составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Определите скорость тела в момент его отрыва от плоскости.
Решение:
Тело оторвётся от плоскости в момент, когда проекция действующей силы на направление нормали станет равной силе тяжести, т. е.
$kt \sin \alpha \geq mg$, (1)
откуда время от начала движения до отрыва определится как
$t_{0} = \frac{mg}{k \sin \alpha }$. (2)
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось можно записать в виде:
$kt \cos \alpha = m \frac{dv}{dt}$, (3)
в дифференциальном уравнении (3) переменные делятся, что позволяет достаточно просто его проинтегрировать
$\int_{0}^{v_{0} }dv = \frac{k \cos \alpha }{m} \int_{0}^{t_{0} } tdt$, (4)
или, после интегрирования и подстановки значения $t_{0}$ из (2), для скорости получим
$v = \frac{g^{2} \cos \alpha }{2k \sin^{2} \alpha }$. (5)
Перемещение до момента отрыва найдём путём интегрирования уравнения скорости
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{k \cos \alpha}{2m} t^{2}, \int_{0}^{t_{0} } dx = \frac{k \cos \alpha }{2m} \int_{0}^{t_{0} } t^{2}dt$,
$x = \frac{m^{2}g^{3} }{6k^{2} \sin^{3} \alpha }$. (6)
Тело массы $m$, расположенное на гладкой горизонтальной плоскости. Начинает движение под действием силы, изменяющейся во времени $F = kt$, где $k$ - постоянная величина. Направление силы составляет угол $\alpha$ с горизонтом. Определите скорость тела в момент его отрыва от плоскости.
Решение:
Тело оторвётся от плоскости в момент, когда проекция действующей силы на направление нормали станет равной силе тяжести, т. е.
$kt \sin \alpha \geq mg$, (1)
откуда время от начала движения до отрыва определится как
$t_{0} = \frac{mg}{k \sin \alpha }$. (2)
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось можно записать в виде:
$kt \cos \alpha = m \frac{dv}{dt}$, (3)
в дифференциальном уравнении (3) переменные делятся, что позволяет достаточно просто его проинтегрировать
$\int_{0}^{v_{0} }dv = \frac{k \cos \alpha }{m} \int_{0}^{t_{0} } tdt$, (4)
или, после интегрирования и подстановки значения $t_{0}$ из (2), для скорости получим
$v = \frac{g^{2} \cos \alpha }{2k \sin^{2} \alpha }$. (5)
Перемещение до момента отрыва найдём путём интегрирования уравнения скорости
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{k \cos \alpha}{2m} t^{2}, \int_{0}^{t_{0} } dx = \frac{k \cos \alpha }{2m} \int_{0}^{t_{0} } t^{2}dt$,
$x = \frac{m^{2}g^{3} }{6k^{2} \sin^{3} \alpha }$. (6)
