Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14638
2020-12-26 
Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v_{0}$, снова будет равна $v_{0}$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha, tg \alpha > \mu$.
Решение:
Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю.
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$.
Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона
$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$,
$\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$.
Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения
$a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$.
Время движения тела вверх $t_{1}$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма
$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$.
Движению тела вниз соответствует уравнение
$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$,
$a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$
Скорость станет равной $v_{0}$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому
$\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ), \int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) \int_{0}^{t_{2} } dt$,
$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$.
Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$
$t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$.
Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по наклонной плоскости скорость $v_{0}$, снова будет равна $v_{0}$? Коэффициент трения $\mu$, угол между плоскостью и горизонтом $\alpha, tg \alpha > \mu$.
Решение:
Тело на наклонной плоскости находится под действием трёх сил: силы тяжести $\vec{F}_{1} = m \vec{g}$, силы трения $\vec{F}_{2} = - \mu mg$ и нормальной реакции связи $\vec{N}$, однако, при дальнейшем рассмотрении движения нормальную реакцию можно не рассматривать, т.к. её проекция на горизонтальную ось, вдоль которой движется тело, равна нулю.
Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ при движении тела вверх в векторной форме запишется следующим образом
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = m \vec{a}$.
Определим проекции действующих сил на ось ОХ и запишем уравнение второго закона Ньютона
$F_{1x} = mg \sin \alpha, F_{2x} = \mu mg \cos \alpha$,
$\mu mg \cos \alpha + mg \sin \alpha = ma$.
Поделим обе части последнего уравнения на массу $m$ и выразим величину ускорения
$a = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$.
Время движения тела вверх $t_{1}$ определится из условия равенства нулю скорости в конце подъёма
$0 = v_{0} - at \Rightarrow t_{1} = \frac{v_{0} }{a} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$.
Движению тела вниз соответствует уравнение
$mg \sin \alpha - \mu mg \cos \alpha = ma$,
$a = g( \sin \alpha - \mu \cos \alpha )$
Скорость станет равной $v_{0}$ только в конце спуска, потому как закона сохранения энергии никто не отменял, поэтому
$\frac{dv}{dt} = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ), \int_{0}^{v_{0} } dv = g( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) \int_{0}^{t_{2} } dt$,
$t_{2} = \frac{v_{0} }{g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha ) }$.
Искомое время определится в виде суммы $t = t_{1} + t_{2}$
$t = \frac{2v_{0} \sin \alpha }{g( \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha )}$.
