Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14635
2020-12-26 
Может ли нормальное ускорение частицы при движении по криволинейной траектории: а) равняться нулю; б) равняться постоянному вектору.
Решение:
Определение направления вектора скорости, как правило, никогда не вызывает затруднений, т.к. он совпадает с направлением касательной, т.е. с базисом $\vec{ \tau}$. Направление же вектора ускорения определяется системой сил, приведших частицу к тому или иному движению. В рамках кинематики, с её геометрическими характеристиками движения, найти направление вектора ускорения затруднительно, поэтому его представляют в виде геометрической суммы двух составляющих, нормальной и тангенциальной, т.е.:
$\vec{a} = a_{n} \vec{n} + a_{ \tau } \vec{ \tau}$, (1)
способы вычисления которых достаточно хорошо известны. Вектор скорости при использовании взаимоно перпендикулярных базисных вектров $\vec{n}, \vec{ \tau}$, направленных по нормали и касательной в данной точке траектории, можно представить уравнениями:
$\vec{ v} = \frac{ds}{dt} \vec{ \tau } ; | \vec{v} | \equiv v = \frac{ds}{dt}; \Rightarrow \vec{v} = v \vec{ \tau }$. (2)
Уравнение вектора полного ускорения с учётом уравнения (2) примет вид
$\vec{a} = \frac{d}{dt} (v \vec{ \tau } ) = \frac{dv}{dt} \vec{ \tau } + v \frac{d \vec{ \tau } }{dt}$. (3)
Вводя в рассмотрение радиус кривизны траектории $\rho$ и элементарный путь $ds = vdt$, центральный угол $d \alpha$ можно представить в виде
$d \alpha = \frac{ds}{ \rho } = \frac{v}{ \rho } dt$. (4)
В виду малости приращения базиса $d \vec{ \tau}$, треугольник, образованный радиусами кривизны и дугой ёз можно считать равнобедренным, т.е.
$|d \vec{ \tau } | = 2| \vec{ \tau } | \sin \frac{d \alpha}{2} = d \alpha$.
Если вектор $\vec{ \tau } + d \vec{ \tau }$ перенести параллельно себе в точку начала вектора $\vec{ \tau}$, то станет очевидным, что приращение $d \vec{ \tau }$ совпадает по направлению с ортом главной нормали $\vec{n}$, таким образом, в уравнении (3)
$\frac{d \vec{ \tau } }{dt} = \frac{d \alpha }{dt} \vec{n} = \frac{ds}{ \rho dt} \vec{n} = \frac{v}{ \rho } \vec{n}$. (5)
Уравнение вектора полного ускорения с учётом уравнения (5) можно переписать так:
$\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{ \tau } + \frac{v^{2} }{ \rho} \vec{n}$. (6)
Из векторного уравнения (6) очевидно, что при $| \vec{v} | = const$ величина тангенциального ускорения может быть равной нулю. Равенство нулю $\vec{a}_{n}$ возможно только при похождении частицей точек перегиба траектории. Так, например, если частица движется по замкнутой траектории в виде касающихся окружностей (по восьмёрке), то в общей точке направление нормали будет изменяться на $180^{ \circ}$ скачком, т.е. $\vec{a}_{n} = 0$.
Величина нормального ускорения для движущейся точки не может быть постоянным вектором, т.к. это предполагает, судя по уравнению (6), что орт главной нормали $\vec{n}$ должен иметь постоянное направление, а это возможно в отсутствие движения.
Может ли нормальное ускорение частицы при движении по криволинейной траектории: а) равняться нулю; б) равняться постоянному вектору.
Решение:
Определение направления вектора скорости, как правило, никогда не вызывает затруднений, т.к. он совпадает с направлением касательной, т.е. с базисом $\vec{ \tau}$. Направление же вектора ускорения определяется системой сил, приведших частицу к тому или иному движению. В рамках кинематики, с её геометрическими характеристиками движения, найти направление вектора ускорения затруднительно, поэтому его представляют в виде геометрической суммы двух составляющих, нормальной и тангенциальной, т.е.:
$\vec{a} = a_{n} \vec{n} + a_{ \tau } \vec{ \tau}$, (1)
способы вычисления которых достаточно хорошо известны. Вектор скорости при использовании взаимоно перпендикулярных базисных вектров $\vec{n}, \vec{ \tau}$, направленных по нормали и касательной в данной точке траектории, можно представить уравнениями:
$\vec{ v} = \frac{ds}{dt} \vec{ \tau } ; | \vec{v} | \equiv v = \frac{ds}{dt}; \Rightarrow \vec{v} = v \vec{ \tau }$. (2)
Уравнение вектора полного ускорения с учётом уравнения (2) примет вид
$\vec{a} = \frac{d}{dt} (v \vec{ \tau } ) = \frac{dv}{dt} \vec{ \tau } + v \frac{d \vec{ \tau } }{dt}$. (3)
Вводя в рассмотрение радиус кривизны траектории $\rho$ и элементарный путь $ds = vdt$, центральный угол $d \alpha$ можно представить в виде
$d \alpha = \frac{ds}{ \rho } = \frac{v}{ \rho } dt$. (4)
В виду малости приращения базиса $d \vec{ \tau}$, треугольник, образованный радиусами кривизны и дугой ёз можно считать равнобедренным, т.е.
$|d \vec{ \tau } | = 2| \vec{ \tau } | \sin \frac{d \alpha}{2} = d \alpha$.
Если вектор $\vec{ \tau } + d \vec{ \tau }$ перенести параллельно себе в точку начала вектора $\vec{ \tau}$, то станет очевидным, что приращение $d \vec{ \tau }$ совпадает по направлению с ортом главной нормали $\vec{n}$, таким образом, в уравнении (3)
$\frac{d \vec{ \tau } }{dt} = \frac{d \alpha }{dt} \vec{n} = \frac{ds}{ \rho dt} \vec{n} = \frac{v}{ \rho } \vec{n}$. (5)
Уравнение вектора полного ускорения с учётом уравнения (5) можно переписать так:
$\vec{a} = \frac{dv}{dt} \vec{ \tau } + \frac{v^{2} }{ \rho} \vec{n}$. (6)
Из векторного уравнения (6) очевидно, что при $| \vec{v} | = const$ величина тангенциального ускорения может быть равной нулю. Равенство нулю $\vec{a}_{n}$ возможно только при похождении частицей точек перегиба траектории. Так, например, если частица движется по замкнутой траектории в виде касающихся окружностей (по восьмёрке), то в общей точке направление нормали будет изменяться на $180^{ \circ}$ скачком, т.е. $\vec{a}_{n} = 0$.
Величина нормального ускорения для движущейся точки не может быть постоянным вектором, т.к. это предполагает, судя по уравнению (6), что орт главной нормали $\vec{n}$ должен иметь постоянное направление, а это возможно в отсутствие движения.
