Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14634
2020-12-26 
Частица движется в плоскости в соответствии с уравнением $\vec{r}(t)= \vec{i} At^{3} + \vec{j}Bt^{2}$ ($A = 1 м/с^{3}, B = 2 м/с^{2}$). Запишите уравнения для вектора скорости $\vec{v}(t)$ и ускорения $\vec{a}(t)$. Определите вид траектории, по которой движется частица. Для момента времени $t_{1} = 1с$, прошедшего после начала движения, найдите: а) положение частицы на траектории; б) её скорость; в) перемещение.
Решение:
В условии задано уравнение движения в векторной форме, т.е. зависимость радиус-вектора некой частицы от времени. Уравнение вектора скорости определится путём дифференцирования по времени уравнения движения
$\vec{v}(t)= \frac{d \vec{r} }{dt} = \vec{i} 3At^{2} + \vec{j}2Bt$. (1)
Вектор ускорения изменяется во времени по закону, определяемому производной вектора скорости по времени
$\vec{a}(t) = \frac{d \vec{v} }{dt } = \vec{i} бAt + \vec{j}2B$. (2)
Модуль вектора скорости частицы для заданного момента времени $t_{1}$ найдём, используя данные уравнения (1)
$v_{x} = 3At^{2}, v_{y} = 2Bt, | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} }$,
$| \vec{v}_{1} | = \sqrt{ (3At_{1}^{2})^{2} + (2Bt_{1} )^{2}} \simeq 5 м/ с$. (3)
Направление вектора скорости $\vec{v}_{1}$ (угол между вектором скорости и положительным направлением оси ОХ) найдём, используя определение проекции вектора на горизонтальную ось, т.е. через синус угла, между вектором скорости и положительным направлением горизонтальной оси
$\sin ( \vec{v}_{1}; \vec{i} ) = \frac{ v_{1x}}{| \vec{v}_{1} | } \Rightarrow ( \vec{i} ; \vec{v}_{1} ) = arcsin \frac{v_{1x} }{| \vec{v}_{1} |} = arcsin \frac{3}{5} \simeq 37^{ \circ}$. (4)
Определим вид траектории, по которой движется частица, для чего представим заданное векторное уравнение движения в координатной форме
$r_{x} \equiv x = At^{3}, r_{y} \equiv y = Bt^{2}$,
Чтобы из уравнений движения получить траекторию необходимо из них исключить время. В данном случае можно поступить по-простому, из уравнения для $r_{x}$ выразить время и подставить его значение в соотношение для $r_{y}$
$t = \sqrt[3]{ \frac{x}{A} } \Rightarrow y(x) = Bx^{ \frac{3}{2}} = 2x^{1,5}$, (5)
$y = 2 \sqrt[3]{x^{2}}$.
Построив траекторию, определим положение частицы в начальный момент времени и по истечении $t_{1} = 1 с$
$x_{0} = 0, y_{0} = 0, x_{1} = 1 м, y_{1} = 2м$.
Найдём далее модуль вектора перемещения частицы
$\Delta x = x_{1} - x_{0} = 1м$,
$\Delta y = y_{1} - y_{0} = 2м$.
$| \Delta \vec{r} | = \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}} \simeq 2,2 м$
Построим вектор скорости для момента времени $t_{1}$, для этого проведём в точке с координатами ($x_{1},y_{1}$) касательную, которая и составит с осью ОХ угол $37^{ \circ}$.
Частица движется в плоскости в соответствии с уравнением $\vec{r}(t)= \vec{i} At^{3} + \vec{j}Bt^{2}$ ($A = 1 м/с^{3}, B = 2 м/с^{2}$). Запишите уравнения для вектора скорости $\vec{v}(t)$ и ускорения $\vec{a}(t)$. Определите вид траектории, по которой движется частица. Для момента времени $t_{1} = 1с$, прошедшего после начала движения, найдите: а) положение частицы на траектории; б) её скорость; в) перемещение.
Решение:
В условии задано уравнение движения в векторной форме, т.е. зависимость радиус-вектора некой частицы от времени. Уравнение вектора скорости определится путём дифференцирования по времени уравнения движения
$\vec{v}(t)= \frac{d \vec{r} }{dt} = \vec{i} 3At^{2} + \vec{j}2Bt$. (1)
Вектор ускорения изменяется во времени по закону, определяемому производной вектора скорости по времени
$\vec{a}(t) = \frac{d \vec{v} }{dt } = \vec{i} бAt + \vec{j}2B$. (2)
Модуль вектора скорости частицы для заданного момента времени $t_{1}$ найдём, используя данные уравнения (1)
$v_{x} = 3At^{2}, v_{y} = 2Bt, | \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} }$,
$| \vec{v}_{1} | = \sqrt{ (3At_{1}^{2})^{2} + (2Bt_{1} )^{2}} \simeq 5 м/ с$. (3)
Направление вектора скорости $\vec{v}_{1}$ (угол между вектором скорости и положительным направлением оси ОХ) найдём, используя определение проекции вектора на горизонтальную ось, т.е. через синус угла, между вектором скорости и положительным направлением горизонтальной оси
$\sin ( \vec{v}_{1}; \vec{i} ) = \frac{ v_{1x}}{| \vec{v}_{1} | } \Rightarrow ( \vec{i} ; \vec{v}_{1} ) = arcsin \frac{v_{1x} }{| \vec{v}_{1} |} = arcsin \frac{3}{5} \simeq 37^{ \circ}$. (4)
Определим вид траектории, по которой движется частица, для чего представим заданное векторное уравнение движения в координатной форме
$r_{x} \equiv x = At^{3}, r_{y} \equiv y = Bt^{2}$,
Чтобы из уравнений движения получить траекторию необходимо из них исключить время. В данном случае можно поступить по-простому, из уравнения для $r_{x}$ выразить время и подставить его значение в соотношение для $r_{y}$
$t = \sqrt[3]{ \frac{x}{A} } \Rightarrow y(x) = Bx^{ \frac{3}{2}} = 2x^{1,5}$, (5)
$y = 2 \sqrt[3]{x^{2}}$.
Построив траекторию, определим положение частицы в начальный момент времени и по истечении $t_{1} = 1 с$
$x_{0} = 0, y_{0} = 0, x_{1} = 1 м, y_{1} = 2м$.
Найдём далее модуль вектора перемещения частицы
$\Delta x = x_{1} - x_{0} = 1м$,
$\Delta y = y_{1} - y_{0} = 2м$.
$| \Delta \vec{r} | = \sqrt{ \Delta x^{2} + \Delta y^{2}} \simeq 2,2 м$
Построим вектор скорости для момента времени $t_{1}$, для этого проведём в точке с координатами ($x_{1},y_{1}$) касательную, которая и составит с осью ОХ угол $37^{ \circ}$.
