Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14633
2020-12-26 
Тормозящий автомобиль движется по прямой. Абсолютная величина ускорения зависит от его текущей скорости $v$ по закону $a = a_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } }$, где $a_{0} = 10 м/с^{2}, v_{0} = 90 км/час$ - значения соответствующих кинематических параметров при $t = 0$. Через какое время произойдёт полная остановка автомобиля?
Решение:
Определим зависимость скорости тормозящего автомобиля от времени, представив ускорение, как первую производную скорости по времени
$\frac{dv}{dt} =- a = - a_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } } \Rightarrow dv = - a_{0} \frac{ \sqrt{v} }{ \sqrt{v_{0} } } dt$. (1)
Уравнение (1) является дифференциальным т.к. искомая скорость располагается под знаком дифференциала.
Проинтегрируем уравнение (1)
$\int \frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \int \frac{a_{0} }{ \sqrt{v_{0} } } dt \Rightarrow 2 \sqrt{v} = - \frac{a_{0} }{ \sqrt{v_{0} } }t + 2 \sqrt{v_{0} }$. (2)
Определим из уравнения (2) скорость автомобиля
$v(t) = v_{0} \left ( 1 - \frac{a_{0}t }{2v_{0} } \right )^{2}$. (3)
При остановке автомобиля скорость становится нулевой при $t = \frac{2v_{0}}{a_{0}}$, поэтому автомобиль остановится через
$\tau = \frac{2v_{0}}{a_{0}} = 2 \frac{25}{10} = 5с$.
Тормозящий автомобиль движется по прямой. Абсолютная величина ускорения зависит от его текущей скорости $v$ по закону $a = a_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } }$, где $a_{0} = 10 м/с^{2}, v_{0} = 90 км/час$ - значения соответствующих кинематических параметров при $t = 0$. Через какое время произойдёт полная остановка автомобиля?
Решение:
Определим зависимость скорости тормозящего автомобиля от времени, представив ускорение, как первую производную скорости по времени
$\frac{dv}{dt} =- a = - a_{0} \sqrt{ \frac{v}{v_{0} } } \Rightarrow dv = - a_{0} \frac{ \sqrt{v} }{ \sqrt{v_{0} } } dt$. (1)
Уравнение (1) является дифференциальным т.к. искомая скорость располагается под знаком дифференциала.
Проинтегрируем уравнение (1)
$\int \frac{dv}{ \sqrt{v} } = - \int \frac{a_{0} }{ \sqrt{v_{0} } } dt \Rightarrow 2 \sqrt{v} = - \frac{a_{0} }{ \sqrt{v_{0} } }t + 2 \sqrt{v_{0} }$. (2)
Определим из уравнения (2) скорость автомобиля
$v(t) = v_{0} \left ( 1 - \frac{a_{0}t }{2v_{0} } \right )^{2}$. (3)
При остановке автомобиля скорость становится нулевой при $t = \frac{2v_{0}}{a_{0}}$, поэтому автомобиль остановится через
$\tau = \frac{2v_{0}}{a_{0}} = 2 \frac{25}{10} = 5с$.
