Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14631
2020-12-26 
Скорость течения реки изменяется по её ширине в соответствии с уравнением
$v(x)= -4x^{2} + 4x + 0,5$,
где $x = \frac{a}{b}$ ($a$ - текущее расстояние от берега до лодки, $b = 420 м$ - ширина реки). На какое расстояние $r$ лодку снесёт течением при переправе, если её скорость относительно воды равна $v_{0} = 2 м/с$ и направлена она перпендикулярно противоположному берегу?
Решение:
Течение реки увеличивает расстояние, проходимое лодкой от одного берега к другому. Если бы скорость реки была постоянной, то величина $r$ определялась бы просто, достаточно было определить геометрически суммарную скорость лодки и реки и найти её путь. В данном случае скорость реки зависит от координаты лодки относительно отправного берега, поэтому снос лодки определится в виде интеграла
$r = \int_{0}^{ \tau } vdt = v \tau$, (1)
где $\tau = \frac{b}{v_{0}}$ - время переправы лодки между берегами без учёта течения реки.
Так как скорость является функцией отношения $\frac{a}{b}$, которое меняется в пределах от о до 1, то это обстоятельство необходимо учесть при интегрировании, т.е. изменить пределы интегрирования и перейти к переменной $x$. В начале движения $\frac{a}{b} = 0$, при достижении противоположного берега $\frac{a}{b} = 1$
$r = \int_{0}^{1} v \frac{b}{v_{0} } dx = \frac{b}{v_{0} } \int_{0}^{1} (-4x^{2} + 4x + 0,5 )dx$,
$r = \frac{b}{v_{0} } \left . \left ( - \frac{4}{3} x^{3} + 2x^{2} + 0,5x \right ) \right |_{0}^{1} \simeq 245 м$.
Скорость течения реки изменяется по её ширине в соответствии с уравнением
$v(x)= -4x^{2} + 4x + 0,5$,
где $x = \frac{a}{b}$ ($a$ - текущее расстояние от берега до лодки, $b = 420 м$ - ширина реки). На какое расстояние $r$ лодку снесёт течением при переправе, если её скорость относительно воды равна $v_{0} = 2 м/с$ и направлена она перпендикулярно противоположному берегу?
Решение:
Течение реки увеличивает расстояние, проходимое лодкой от одного берега к другому. Если бы скорость реки была постоянной, то величина $r$ определялась бы просто, достаточно было определить геометрически суммарную скорость лодки и реки и найти её путь. В данном случае скорость реки зависит от координаты лодки относительно отправного берега, поэтому снос лодки определится в виде интеграла
$r = \int_{0}^{ \tau } vdt = v \tau$, (1)
где $\tau = \frac{b}{v_{0}}$ - время переправы лодки между берегами без учёта течения реки.
Так как скорость является функцией отношения $\frac{a}{b}$, которое меняется в пределах от о до 1, то это обстоятельство необходимо учесть при интегрировании, т.е. изменить пределы интегрирования и перейти к переменной $x$. В начале движения $\frac{a}{b} = 0$, при достижении противоположного берега $\frac{a}{b} = 1$
$r = \int_{0}^{1} v \frac{b}{v_{0} } dx = \frac{b}{v_{0} } \int_{0}^{1} (-4x^{2} + 4x + 0,5 )dx$,
$r = \frac{b}{v_{0} } \left . \left ( - \frac{4}{3} x^{3} + 2x^{2} + 0,5x \right ) \right |_{0}^{1} \simeq 245 м$.
