Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14630
2020-12-26 
Определите зависимость пути некой точки от времени, если её ускорение пропорционально квадрату скорости $a \sim - v^{2}$ и направлено в противоположную ей сторону.
Решение:
Заданную взаимосвязь ускорения и скорости можно выразить уравнением
$a = - kv^{2}$,
где $a$ - ускорение, $v$ - скорость, $k$ - коэффициент пропорциональности. Знак минус показывает, что векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны.
Выразим величину ускорения через скорость
$a = - kv^{2}; \frac{dv}{dt} = - kv^{2}$. (1)
Полученное уравнение (1) является дифференциальным, потому что искомая величина скорости $v$ стоит под знаком производной. В уравнении (1) можно разделить переменные путём умножения правой и левой его части на $dt$ и деления на $v^{2}$
$\frac{dv}{v^{2} } = - kt$. (2)
Для того, чтобы получить зависимость скорости от времени уравнение (2) необходимо проинтегрировать. Поскольку движение замедленное, то скорость в течение момента времени от $t_{0}$ до $t$ меняется от $v_{0}$ до $v$, интегрирование целесообразно произвести в следующих пределах
$\int_{v_{0} }^{v} \frac{dv}{v^{2} } = - k \int_{0}^{t} dt, \frac{1}{v} - \frac{1}{v_{0} } = kt, \frac{1}{v} = \frac{1}{v_{0} } - kt = \frac{1 + kv_{0}t }{v_{0} }$,
$v(t) = \frac{v_{0} }{1 + kv_{0}t }$. (3)
Чтобы найти зависимость координаты точки от времени необходимо проинтегрировать уравнение скорости (2) с учётом того, что
$v(t) = \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{v_{0} }{1 + kv_{0}t } \Rightarrow dx = \frac{v_{0}dt }{1 + kv_{0}t }$. (4)
Проинтегрируем уравнение (4) в пределах изменения переменных величин $x$ и $t$ от $x_{0}$ до $x$ и от 0 до $t$
$\int_{x_{0} }^{x} dx = \int_{0}^{t} \frac{v_{0}dt }{1 + kv_{0}t }, x - x_{0} = \frac{1}{k} ln (kv_{0}t + 1 )$.
$x(t) = x_{0} + \frac{1}{k} ln (kv_{0}t + 1 )$.
Определите зависимость пути некой точки от времени, если её ускорение пропорционально квадрату скорости $a \sim - v^{2}$ и направлено в противоположную ей сторону.
Решение:
Заданную взаимосвязь ускорения и скорости можно выразить уравнением
$a = - kv^{2}$,
где $a$ - ускорение, $v$ - скорость, $k$ - коэффициент пропорциональности. Знак минус показывает, что векторы скорости и ускорения направлены в противоположные стороны.
Выразим величину ускорения через скорость
$a = - kv^{2}; \frac{dv}{dt} = - kv^{2}$. (1)
Полученное уравнение (1) является дифференциальным, потому что искомая величина скорости $v$ стоит под знаком производной. В уравнении (1) можно разделить переменные путём умножения правой и левой его части на $dt$ и деления на $v^{2}$
$\frac{dv}{v^{2} } = - kt$. (2)
Для того, чтобы получить зависимость скорости от времени уравнение (2) необходимо проинтегрировать. Поскольку движение замедленное, то скорость в течение момента времени от $t_{0}$ до $t$ меняется от $v_{0}$ до $v$, интегрирование целесообразно произвести в следующих пределах
$\int_{v_{0} }^{v} \frac{dv}{v^{2} } = - k \int_{0}^{t} dt, \frac{1}{v} - \frac{1}{v_{0} } = kt, \frac{1}{v} = \frac{1}{v_{0} } - kt = \frac{1 + kv_{0}t }{v_{0} }$,
$v(t) = \frac{v_{0} }{1 + kv_{0}t }$. (3)
Чтобы найти зависимость координаты точки от времени необходимо проинтегрировать уравнение скорости (2) с учётом того, что
$v(t) = \frac{dx}{dt}$.
$\frac{dx}{dt} = \frac{v_{0} }{1 + kv_{0}t } \Rightarrow dx = \frac{v_{0}dt }{1 + kv_{0}t }$. (4)
Проинтегрируем уравнение (4) в пределах изменения переменных величин $x$ и $t$ от $x_{0}$ до $x$ и от 0 до $t$
$\int_{x_{0} }^{x} dx = \int_{0}^{t} \frac{v_{0}dt }{1 + kv_{0}t }, x - x_{0} = \frac{1}{k} ln (kv_{0}t + 1 )$.
$x(t) = x_{0} + \frac{1}{k} ln (kv_{0}t + 1 )$.
