Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14629
2020-12-16 
В зацеплении, показанном на рис., колесо 1 приводится в движение моментом $M_{1}$; к колесу 2 приложен момент сопротивления $M_{2}$ и к колесу 3 - момент сопротивлении $M_{3}$. Найти угловое ускорение $\epsilon_{1}$ первого колеса, считая колеса однородными дисками, массы которых $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ и радиусы которых $r_{1}, r_{2}, r_{3}$.
Решение:
Система состоит из трех колес, размеры и массы которых известны. На систему действуют моменты сил: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$. Если закрепить какое-нибудь колесо, движения других тоже прекратятся. Следовательно, система обладает одной степенью свободы. То есть, если известен угол поворота первого колеса $\phi_{1}$, то положения других колес будут тоже определены, так как
$\phi_{1}r_{1} = \phi_{2}r_{2} = \phi_{3}r_{3}$,
Пусть обобщенная координата $q_{1} = \phi_{1}$, тогда обобщенная скорость
$\dot{q}_{1} = \dot{ \phi }_{1} = \omega_{1}$,
и уравнение движения системы - уравнение Лагранжа II рода тоже будет одно:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } \right ) - \frac{ \partial T}{ \partial \phi_{1} } = Q_{1}$, (*)
где $Q_{1}$ - обобщенная сила, $T$ - кинетическая энергия системы* Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех колес:
$T = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} \omega_{3}^{2}$.
Здесь $I_{1} = \frac{1}{2}m_{1}r_{1}^{2}; I_{2} = \frac{1}{2} m_{2}r_{2}^{2}; I_{3} = \frac{1}{2} m_{3}r_{3}^{2}$.
Угловые скорости 2-го и 3-го колес легко выразить через угловую скорость первого. Если приравнять скорости точек соприкосновения колес, то
$\omega_{1}r_{1} = \omega_{2}r_{2} = \omega_{3}r_{3}$ и $\omega_{2} = \omega_{1} \frac{r_{1} }{r_{2} }; \omega_{3} = \omega_{1} \frac{r_{1} }{r_{3} }$
Теперь выражение кинетической энергии примет вид:
$T = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{1}r_{1}^{2} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{2}r_{2}^{2} \cdot \omega_{1}^{2} \frac{r_{1}^{2} }{ r_{2}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{3}r_{3}^{2} \cdot \omega_{1}^{2} \frac{r_{1}^{2} }{r_{3}^{2} } = \frac{1}{4} \omega_{1}^{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} )$.
Обобщенную силу иы найден из соотношения:
$Q_{1} = \frac{ \sum \delta A }{ \delta \phi_{1} }$
Пусть $\delta \phi_{1} \neq 0$, тогда элементарные перемещения точек соприкосновений колес равны между собой: $r_{1} \delta \phi_{1} = r_{2} \delta \phi_{2} = r_{3} \delta phi_{3}$ и сумма элементарных работ действующих сил будет:
$\sum \delta A = M_{1} \delta \phi_{1} - M_{2} \delta \phi_{2} - M_{3} \delta \phi_{3} = \delta \phi_{1} \left ( M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} } \right )$,
Обобщенная сила
$Q_{1} = M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} }$.
Для того, чтобы записать дифференциальное уравнение движения системы, надо подсчитать $\frac{ \partial T}{ \partial \phi_{1} }, \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} }, \frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial \omega_{1} } \right )$.
$\frac{ \partial T }{ \partial \phi_{1} } = 0$,
так как выражение кинетической энергий система не содержит $\phi_{1}$.
$\frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } = \frac{1}{2} r_{1}^{2} \omega_{1} (m_{1} + m_{2} + m_{3} )$,
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } \right ) = \frac{1}{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) \frac{d \omega_{1} }{dt}$,
Подставив вое эти выражения в (*), получим дифференциальное уравнение движения системы:
$\frac{1}{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) \epsilon_{1} = M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} }$.
Откуда
$\epsilon_{1} = \frac{2 \left ( M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} } \right ) }{r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) }$.
В зацеплении, показанном на рис., колесо 1 приводится в движение моментом $M_{1}$; к колесу 2 приложен момент сопротивления $M_{2}$ и к колесу 3 - момент сопротивлении $M_{3}$. Найти угловое ускорение $\epsilon_{1}$ первого колеса, считая колеса однородными дисками, массы которых $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ и радиусы которых $r_{1}, r_{2}, r_{3}$.
Решение:
Система состоит из трех колес, размеры и массы которых известны. На систему действуют моменты сил: $M_{1}, M_{2}, M_{3}$. Если закрепить какое-нибудь колесо, движения других тоже прекратятся. Следовательно, система обладает одной степенью свободы. То есть, если известен угол поворота первого колеса $\phi_{1}$, то положения других колес будут тоже определены, так как
$\phi_{1}r_{1} = \phi_{2}r_{2} = \phi_{3}r_{3}$,
Пусть обобщенная координата $q_{1} = \phi_{1}$, тогда обобщенная скорость
$\dot{q}_{1} = \dot{ \phi }_{1} = \omega_{1}$,
и уравнение движения системы - уравнение Лагранжа II рода тоже будет одно:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } \right ) - \frac{ \partial T}{ \partial \phi_{1} } = Q_{1}$, (*)
где $Q_{1}$ - обобщенная сила, $T$ - кинетическая энергия системы* Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех колес:
$T = \frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} + \frac{1}{2} I_{3} \omega_{3}^{2}$.
Здесь $I_{1} = \frac{1}{2}m_{1}r_{1}^{2}; I_{2} = \frac{1}{2} m_{2}r_{2}^{2}; I_{3} = \frac{1}{2} m_{3}r_{3}^{2}$.
Угловые скорости 2-го и 3-го колес легко выразить через угловую скорость первого. Если приравнять скорости точек соприкосновения колес, то
$\omega_{1}r_{1} = \omega_{2}r_{2} = \omega_{3}r_{3}$ и $\omega_{2} = \omega_{1} \frac{r_{1} }{r_{2} }; \omega_{3} = \omega_{1} \frac{r_{1} }{r_{3} }$
Теперь выражение кинетической энергии примет вид:
$T = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{1}r_{1}^{2} \omega_{1}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{2}r_{2}^{2} \cdot \omega_{1}^{2} \frac{r_{1}^{2} }{ r_{2}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m_{3}r_{3}^{2} \cdot \omega_{1}^{2} \frac{r_{1}^{2} }{r_{3}^{2} } = \frac{1}{4} \omega_{1}^{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} )$.
Обобщенную силу иы найден из соотношения:
$Q_{1} = \frac{ \sum \delta A }{ \delta \phi_{1} }$
Пусть $\delta \phi_{1} \neq 0$, тогда элементарные перемещения точек соприкосновений колес равны между собой: $r_{1} \delta \phi_{1} = r_{2} \delta \phi_{2} = r_{3} \delta phi_{3}$ и сумма элементарных работ действующих сил будет:
$\sum \delta A = M_{1} \delta \phi_{1} - M_{2} \delta \phi_{2} - M_{3} \delta \phi_{3} = \delta \phi_{1} \left ( M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} } \right )$,
Обобщенная сила
$Q_{1} = M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} }$.
Для того, чтобы записать дифференциальное уравнение движения системы, надо подсчитать $\frac{ \partial T}{ \partial \phi_{1} }, \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} }, \frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T}{ \partial \omega_{1} } \right )$.
$\frac{ \partial T }{ \partial \phi_{1} } = 0$,
так как выражение кинетической энергий система не содержит $\phi_{1}$.
$\frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } = \frac{1}{2} r_{1}^{2} \omega_{1} (m_{1} + m_{2} + m_{3} )$,
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{ \partial T }{ \partial \omega_{1} } \right ) = \frac{1}{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) \frac{d \omega_{1} }{dt}$,
Подставив вое эти выражения в (*), получим дифференциальное уравнение движения системы:
$\frac{1}{2} r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) \epsilon_{1} = M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} }$.
Откуда
$\epsilon_{1} = \frac{2 \left ( M_{1} - M_{2} \frac{r_{1} }{r_{2} } - M_{3} \frac{r_{1} }{r_{3} } \right ) }{r_{1}^{2} (m_{1} + m_{2} + m_{3} ) }$.
