ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-16   
Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определить угол отклонения ручек ОА и ОВ от вертикали, принимая во внимание только вес $P$ каждого из шаров и вес $P_{1}$ муфты С; все стержни имеют одинаковую длину $l$.



Решение:


К действующим на систему активным силам ($P, P_{1}$) добавим силы инерции. Так как механизм вращается равномерно, то точки его имеют только нормальное ускорение (рис.б).

$w_{B} = w_{A} = \omega^{2}l \sin \phi$.
$F_{B}^{ин} = F_{A}^{ин} = \frac{P}{g} \omega^{2}l \sin \phi$.
$F_{C}^{ин} = 0$, так как $w_{C} = 0$.

Общее уравнение динамики для этой системы в координатной форме запишется:

$\sum ( \delta A^{a} + \delta A^{ин} ) = P \delta x_{A} + P \delta x_{B} + P_{1} \delta x_{C} + F_{B}^{ин} \delta y_{B} - F_{A}^{ин} \delta y_{A} = 0$.

Система обладает одной степенью свободы, следовательно, перемещения точек А, В и С можно выпазить через элементарный угол поворота стержней ОА и ОВ.

Легко видеть, что

$x_{A} = x_{B} = l \cos \phi; x_{C} = 2l \cos \phi; y_{B} = - y_{A} = l \sin \phi$.

Дифференцируя эти выражения, находим;

$\delta x_{A} = \delta x_{B} = - l \sin \phi \delta \phi$,
$\delta x_{C} = - 2l \sin \phi \delta \phi$,
$\delta y_{B} = - \delta y_{A} = l \cos \phi \delta \phi$.

Подставим эти выражения и значения сил инерции в общее уравнение динамики и получим:

$\left ( - 2Pl \sin \phi - 2P_{1} l \sin \phi + \frac{P}{g} \omega^{2}l \sin \phi \cdot \cos \phi + \frac{P}{g} \omega^{2} l \sin \phi \cos \phi \right ) \delta \phi = 0$.

Откуда

$\cos \phi = \frac{g(P + P_{1} )}{P \omega^{2}l }$.