Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14626
2020-12-16 
Груз A весом $P$, опускаясь вниз, посредством невесомой нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный невесомый блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса $R$ жестко насажен на шкиф С радиуса $r$; их общий вес равен $Q$, а радиус инерции относительно оси O, перпендикулярной к плоскости чертежа, равен $\rho$. Найти ускорение груза А.
Решение:
Система, состоящая из груза А, нити, невесомого блока D, шкива В с валом С, обладает одной степенью свободы. На систему действуют активные силы $\vec{P}$ и $\vec{Q}$.
Приложим к каждому телу силы инерции (рис.б)
$F_{A}^{ин} = \frac{P}{g} w_{A}; R_{BC}^{ ин} = \frac{Q}{g} w_{0}; | M_{BC}^{ин} | = I_{0} \epsilon_{BC}$, где $I_{0} = \frac{Q}{g} \rho^{2}$.
Так как нас интересует ускорение $w_{A}$ точки A, то ускорение точки O и угловое ускорение $\epsilon_{BC}$ шкива с барабаном выразим через $w_{A}$.
Мгновенный центр скоростей шкива и барабана находится в точке касания их с горизонтальной плоскостью (рис.б). Следовательно,
$\omega_{BC} = \frac{v_{A^{ \prime } } }{R - r} = \frac{v_{A} }{R - r}; \epsilon_{BC} = \frac{d \omega_{BC} }{dt} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{v_{A} }{R - r} \right ) = \frac{1}{R - r} \frac{dv_{A} }{dt} = \frac{w_{A} }{R - r}$.
Скорость точки O равна
$v_{0} = \omega_{BC} \cdot r = \frac{v_{A} }{R - r} r$.
Точка O совершает прямолинейное движение, следовательно, ускорение равно только тангенциальному;
$w_{0} = \frac{dv_{0} }{dt} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{v_{A}r }{R - r} \right ) = \frac{r}{R - r} w_{A}$.
Запишем общее уравнение динамики:
$\sum ( \delta A^{a} + \delta A^{ин} ) = P \delta S_{A} - F_{A}^{ин} \delta S_{A} - R_{BC}^{ин} \delta S_{0} - M_{BC}^{ин} \delta \phi = 0$.
Так как система обладает одной степенью свободы, то $\delta S_{0}$, и $\delta \phi$ можно выразить через $\delta S_{A}$:
$\delta \phi = \frac{ \delta S_{A} }{R - r}, \delta S_{0} = r \delta \phi = \frac{r}{R - r} \delta S_{A}$.
И общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы примет вид:
$\left [ P - \frac{P}{g}w_{A} - \frac{Q}{g} \frac{r^{2} }{(R - r)^{2} } w_{A} - \frac{Q}{g} \frac{ \rho^{2} }{(R - r)^{2} } w_{A} \right ] \delta S_{A} = 0$.
Отсюда
$w_{A} = g \frac{P(R - r)^{2} }{Q (r^{2} + \rho^{2} ) + P (R - r)^{2} }$.
Груз A весом $P$, опускаясь вниз, посредством невесомой нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный невесомый блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольжения по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса $R$ жестко насажен на шкиф С радиуса $r$; их общий вес равен $Q$, а радиус инерции относительно оси O, перпендикулярной к плоскости чертежа, равен $\rho$. Найти ускорение груза А.
Решение:
Система, состоящая из груза А, нити, невесомого блока D, шкива В с валом С, обладает одной степенью свободы. На систему действуют активные силы $\vec{P}$ и $\vec{Q}$.
Приложим к каждому телу силы инерции (рис.б)
$F_{A}^{ин} = \frac{P}{g} w_{A}; R_{BC}^{ ин} = \frac{Q}{g} w_{0}; | M_{BC}^{ин} | = I_{0} \epsilon_{BC}$, где $I_{0} = \frac{Q}{g} \rho^{2}$.
Так как нас интересует ускорение $w_{A}$ точки A, то ускорение точки O и угловое ускорение $\epsilon_{BC}$ шкива с барабаном выразим через $w_{A}$.
Мгновенный центр скоростей шкива и барабана находится в точке касания их с горизонтальной плоскостью (рис.б). Следовательно,
$\omega_{BC} = \frac{v_{A^{ \prime } } }{R - r} = \frac{v_{A} }{R - r}; \epsilon_{BC} = \frac{d \omega_{BC} }{dt} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{v_{A} }{R - r} \right ) = \frac{1}{R - r} \frac{dv_{A} }{dt} = \frac{w_{A} }{R - r}$.
Скорость точки O равна
$v_{0} = \omega_{BC} \cdot r = \frac{v_{A} }{R - r} r$.
Точка O совершает прямолинейное движение, следовательно, ускорение равно только тангенциальному;
$w_{0} = \frac{dv_{0} }{dt} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{v_{A}r }{R - r} \right ) = \frac{r}{R - r} w_{A}$.
Запишем общее уравнение динамики:
$\sum ( \delta A^{a} + \delta A^{ин} ) = P \delta S_{A} - F_{A}^{ин} \delta S_{A} - R_{BC}^{ин} \delta S_{0} - M_{BC}^{ин} \delta \phi = 0$.
Так как система обладает одной степенью свободы, то $\delta S_{0}$, и $\delta \phi$ можно выразить через $\delta S_{A}$:
$\delta \phi = \frac{ \delta S_{A} }{R - r}, \delta S_{0} = r \delta \phi = \frac{r}{R - r} \delta S_{A}$.
И общее уравнение динамики для рассматриваемой механической системы примет вид:
$\left [ P - \frac{P}{g}w_{A} - \frac{Q}{g} \frac{r^{2} }{(R - r)^{2} } w_{A} - \frac{Q}{g} \frac{ \rho^{2} }{(R - r)^{2} } w_{A} \right ] \delta S_{A} = 0$.
Отсюда
$w_{A} = g \frac{P(R - r)^{2} }{Q (r^{2} + \rho^{2} ) + P (R - r)^{2} }$.
