Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14623
2020-12-16 
Тонкий прямолинейный однородный стержень OB длиной $l$ и весом $P$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ около неподвижной точки O (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с вершиной в точке O вокруг вертикальной оси ОA. В точке B к стержню прикреплен тяжелый шарик весок $Q$ (размераки шарика пренебрегаем).
Определить величину угла $\phi$ отклонения системы от вертикали как функцию $\omega$, а также давление $\vec{N}$ системы на шарнир O.
Решение:
Применяем принцип Даламбера к механической системе, состоящей из стержня OB и шарика B.
Запишем, что система сил внешних $\vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \vec{P}, \vec{Q}$ и сил инерции $\vec{F}_{B}^{ ин}, \vec{R}^{ин}$ - суть уравновешенная система сил:
$( \vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \vec{P}, \vec{Q}, \vec{F}_{B}^{ин}, \vec{R}^{ин} ) \equiv 0$
Здесь $\vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}$ - составляющие реакции в шарнире O, $\vec{F}_{B}^{ин}$ - сила инерции, искусственно приложенная к шарику B, $\vec{R}^{ин}$ - главный вектор сил инерции, искусственно приложенных к стержню OB.
Так как $\omega = const$, то нет касательных сил инерции, и главный момент сил инерции $| M^{ин} |= I \epsilon = 0$.
Сила инерции $F_{B}^{ин} = m_{B} w_{B} = \frac{Q}{g} \omega^{2} l \sin \phi$ и направлена в сторону, противоположную $\vec{w}_{B}$ (рис.б).
Перейдем теперь к определению главного вектора $\vec{R}^{ин}$ сил инерции, приложенных к стержню OB.
Направим ось $\xi$ от точки O вдоль отержня. На расстоянии $\xi$ возьмем элемент длиной $d \xi$ и определим величину элементарной силы инерции $d F^{ин}$, приложенной к этому элементу стержня:
$d F^{ин} = dm w_{ \xi} = dm \omega^{2} \xi \sin \phi = \frac{P}{lg} d \xi \omega^{2} \xi \sin \phi$,
Здесь $dm = \frac{P}{lg} d \xi; w_{ \xi } = \omega^{2} r_{ \xi } = \omega^{2} \xi \sin \phi$. $d \vec{F}^{ин}$ направлена, как указано на рис.б (в сторону, противопо-
ложную $\vec{w}_{ \xi }$).
Мы видим, что $d \vec{F}^{ин}$ для различных элементов стержня пропорциональна расстоянию до оси вращения, то есть увеличиваются, по мере удаления от точки O, по линейному закону (см.рис.б).
Известно, что равнодействующая таких сил проходит через центр тяжести $\Delta OBK$ и равна
$R^{ин} = \int_{(m)} dF^{ин} = \frac{P \omega^{2} }{lg} \sin \phi \int_{0}^{l} \xi d \xi = \frac{P \omega^{2} l}{2g} \sin \phi$.
Для получившейся плоской произвольной системы сил (рис.в) составляем три уравнения равновесия и определяем три искомые величины: $ \vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \phi$.
$\sum F_{kx} = 0; X_{0} - R^{ин} - F_{B}^{ин} = 0$,
$\sum F_{ky} = 0; Z_{0} - P - Q = 0$,
$\sum m_{0} ( \vec{F}_{k} ) = 0; \left ( P \frac{1}{2} + Q \right ) l \sin \phi - \left ( F_{B}^{ин} + R_{ин} \frac{2}{3} \right ) l \cos \phi = 0$.
Ответ: $N = R_{0} = \sqrt{X_{0}^{2} + Z_{0}^{2} } = \sqrt{ (P + Q)^{2} + (2Q + P)^{2} \frac{ \omega^{4} l^{2} }{4g^{2} } \sin^{2} \phi }$, $\cos \phi = \frac{3g}{2 \omega^{2}l } \frac{P + 2Q}{P + 3Q}$ или $\phi = arccos \left ( \frac{3g}{2 \omega^{2}l } \frac{P + 2Q}{P + 3Q} \right )$.
Тонкий прямолинейный однородный стержень OB длиной $l$ и весом $P$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ около неподвижной точки O (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с вершиной в точке O вокруг вертикальной оси ОA. В точке B к стержню прикреплен тяжелый шарик весок $Q$ (размераки шарика пренебрегаем).
Определить величину угла $\phi$ отклонения системы от вертикали как функцию $\omega$, а также давление $\vec{N}$ системы на шарнир O.
Решение:
Применяем принцип Даламбера к механической системе, состоящей из стержня OB и шарика B.
Запишем, что система сил внешних $\vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \vec{P}, \vec{Q}$ и сил инерции $\vec{F}_{B}^{ ин}, \vec{R}^{ин}$ - суть уравновешенная система сил:
$( \vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \vec{P}, \vec{Q}, \vec{F}_{B}^{ин}, \vec{R}^{ин} ) \equiv 0$
Здесь $\vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}$ - составляющие реакции в шарнире O, $\vec{F}_{B}^{ин}$ - сила инерции, искусственно приложенная к шарику B, $\vec{R}^{ин}$ - главный вектор сил инерции, искусственно приложенных к стержню OB.
Так как $\omega = const$, то нет касательных сил инерции, и главный момент сил инерции $| M^{ин} |= I \epsilon = 0$.
Сила инерции $F_{B}^{ин} = m_{B} w_{B} = \frac{Q}{g} \omega^{2} l \sin \phi$ и направлена в сторону, противоположную $\vec{w}_{B}$ (рис.б).
Перейдем теперь к определению главного вектора $\vec{R}^{ин}$ сил инерции, приложенных к стержню OB.
Направим ось $\xi$ от точки O вдоль отержня. На расстоянии $\xi$ возьмем элемент длиной $d \xi$ и определим величину элементарной силы инерции $d F^{ин}$, приложенной к этому элементу стержня:
$d F^{ин} = dm w_{ \xi} = dm \omega^{2} \xi \sin \phi = \frac{P}{lg} d \xi \omega^{2} \xi \sin \phi$,
Здесь $dm = \frac{P}{lg} d \xi; w_{ \xi } = \omega^{2} r_{ \xi } = \omega^{2} \xi \sin \phi$. $d \vec{F}^{ин}$ направлена, как указано на рис.б (в сторону, противопо-
ложную $\vec{w}_{ \xi }$).
Мы видим, что $d \vec{F}^{ин}$ для различных элементов стержня пропорциональна расстоянию до оси вращения, то есть увеличиваются, по мере удаления от точки O, по линейному закону (см.рис.б).
Известно, что равнодействующая таких сил проходит через центр тяжести $\Delta OBK$ и равна
$R^{ин} = \int_{(m)} dF^{ин} = \frac{P \omega^{2} }{lg} \sin \phi \int_{0}^{l} \xi d \xi = \frac{P \omega^{2} l}{2g} \sin \phi$.
Для получившейся плоской произвольной системы сил (рис.в) составляем три уравнения равновесия и определяем три искомые величины: $ \vec{X}_{0}, \vec{Z}_{0}, \phi$.
$\sum F_{kx} = 0; X_{0} - R^{ин} - F_{B}^{ин} = 0$,
$\sum F_{ky} = 0; Z_{0} - P - Q = 0$,
$\sum m_{0} ( \vec{F}_{k} ) = 0; \left ( P \frac{1}{2} + Q \right ) l \sin \phi - \left ( F_{B}^{ин} + R_{ин} \frac{2}{3} \right ) l \cos \phi = 0$.
Ответ: $N = R_{0} = \sqrt{X_{0}^{2} + Z_{0}^{2} } = \sqrt{ (P + Q)^{2} + (2Q + P)^{2} \frac{ \omega^{4} l^{2} }{4g^{2} } \sin^{2} \phi }$, $\cos \phi = \frac{3g}{2 \omega^{2}l } \frac{P + 2Q}{P + 3Q}$ или $\phi = arccos \left ( \frac{3g}{2 \omega^{2}l } \frac{P + 2Q}{P + 3Q} \right )$.
