Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14622
2020-12-16 
Сплошной цилиндрический однородный каток С весом $G$ и радиусом $r$ катится без скольжения по неподвижной плоскости, к центру $O_{1}$ катка прикреплена невесомая нить, переброшенная через неподвижный блок весом $Q$ и радиусом $r$. Другим концом нить прикреплена к грузу A весом $P$. Груз А движется вниз о ускорением $\vec{w}$. Считая блок B однородным сплошным цилиндром, определить натяжение нитей на участках ab и cd и реакцию шарнира O (рис.а).
Решение:
В соответствии с принципом Даламбера для системы, укажем силы активные, силы реакций и приложим силы инерции: $\vec{F}_{A}^{ин}, \vec{M}_{B}^{ин}, \vec{M}_{C}^{ин}, \vec{R}^{ин}$. Здесь $M_{B}^{ин}, M_{C}^{ин}, \vec{R}^{ин}$ - главные моменты и главный вектор сил инерции, приложенных к блоку B и цилиндру С соответственно (рис.б).
Принцип Даламбера для всей системы запишется:
$( \vec{G}, \vec{Q}, \vec{P}, \vec{N}, \vec{F}_{тр}, \vec{X}_{0}, \vec{Y}_{0}, \vec{F}_{A}^{ин}, \vec{M}_{B}^{ин}, \vec{M}_{C}^{ин}, \vec{R}_{ин} ) \equiv 0$
Таким образом, принцип Даламбера позволил динамическую задачу свести к задаче статики.
Рассмотрим равновесие каждого тела отдельно. Это даст нам возможность определить силы реакций внутренних связей.
Для тела A имеем (рис.в):
$\vec{F}_{A}^{ин} = - m_{A} \vec{w} = - \frac{P}{g} \vec{w}$,
$( \vec{P}, \vec{T}_{ab}, \vec{F}_{A}^{ин} ) \equiv = 0$,
$P - T_{ab} - F_{A}^{ин} = 0$, откуда $T_{ab} = P - F_{A}^{ин} = P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right ) $.
Для определения $\vec{T}_{cd}, \vec{X}_{0}, \vec{Y}_{0}$ применим принцип Даламбера к блоку B (рис.г).
Очевидно $\vec{T}_{ab}^{ \prime } = - \vec{T}_{ab}; M_{B}^{ин} = - I_{B} \epsilon_{B}$
Соотавим уравнения равновесия плоской произвольной системы сил, действующей на блок B:
$\sum F_{kx} = 0, X_{0} - T_{cd} = 0$
$\sum F_{ky} = 0; Y_{0} - Q - T_{ab}^{ \prime } = 0$
$\sum m_{0} ( \vec{F}_{k} ) = 0; T_{cd} r - T_{ab}^{ \prime } r + | M_{B}^{ин} | = 0$, где $| M_{B}^{ин} | = I_{B} \epsilon = \frac{Qr^{2} }{2g} \frac{w}{r} = \frac{1}{2g} Qrw $.
Решая уравнения, получаем ответ на поставленный вопрос:
$X_{0} = T_{cd} = P - \frac{w}{g} \left ( P + \frac{Q}{2} \right )$,
$Y_{0} = Q + P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right )$,
$T_{ab} = P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right )$.
Очевидно, $R_{0} = \sqrt{X_{0}^{2} + Y_{0}^{2} }$.
Сплошной цилиндрический однородный каток С весом $G$ и радиусом $r$ катится без скольжения по неподвижной плоскости, к центру $O_{1}$ катка прикреплена невесомая нить, переброшенная через неподвижный блок весом $Q$ и радиусом $r$. Другим концом нить прикреплена к грузу A весом $P$. Груз А движется вниз о ускорением $\vec{w}$. Считая блок B однородным сплошным цилиндром, определить натяжение нитей на участках ab и cd и реакцию шарнира O (рис.а).
Решение:
В соответствии с принципом Даламбера для системы, укажем силы активные, силы реакций и приложим силы инерции: $\vec{F}_{A}^{ин}, \vec{M}_{B}^{ин}, \vec{M}_{C}^{ин}, \vec{R}^{ин}$. Здесь $M_{B}^{ин}, M_{C}^{ин}, \vec{R}^{ин}$ - главные моменты и главный вектор сил инерции, приложенных к блоку B и цилиндру С соответственно (рис.б).
Принцип Даламбера для всей системы запишется:
$( \vec{G}, \vec{Q}, \vec{P}, \vec{N}, \vec{F}_{тр}, \vec{X}_{0}, \vec{Y}_{0}, \vec{F}_{A}^{ин}, \vec{M}_{B}^{ин}, \vec{M}_{C}^{ин}, \vec{R}_{ин} ) \equiv 0$
Таким образом, принцип Даламбера позволил динамическую задачу свести к задаче статики.
Рассмотрим равновесие каждого тела отдельно. Это даст нам возможность определить силы реакций внутренних связей.
Для тела A имеем (рис.в):
$\vec{F}_{A}^{ин} = - m_{A} \vec{w} = - \frac{P}{g} \vec{w}$,
$( \vec{P}, \vec{T}_{ab}, \vec{F}_{A}^{ин} ) \equiv = 0$,
$P - T_{ab} - F_{A}^{ин} = 0$, откуда $T_{ab} = P - F_{A}^{ин} = P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right ) $.
Для определения $\vec{T}_{cd}, \vec{X}_{0}, \vec{Y}_{0}$ применим принцип Даламбера к блоку B (рис.г).
Очевидно $\vec{T}_{ab}^{ \prime } = - \vec{T}_{ab}; M_{B}^{ин} = - I_{B} \epsilon_{B}$
Соотавим уравнения равновесия плоской произвольной системы сил, действующей на блок B:
$\sum F_{kx} = 0, X_{0} - T_{cd} = 0$
$\sum F_{ky} = 0; Y_{0} - Q - T_{ab}^{ \prime } = 0$
$\sum m_{0} ( \vec{F}_{k} ) = 0; T_{cd} r - T_{ab}^{ \prime } r + | M_{B}^{ин} | = 0$, где $| M_{B}^{ин} | = I_{B} \epsilon = \frac{Qr^{2} }{2g} \frac{w}{r} = \frac{1}{2g} Qrw $.
Решая уравнения, получаем ответ на поставленный вопрос:
$X_{0} = T_{cd} = P - \frac{w}{g} \left ( P + \frac{Q}{2} \right )$,
$Y_{0} = Q + P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right )$,
$T_{ab} = P \left ( 1 - \frac{w}{g} \right )$.
Очевидно, $R_{0} = \sqrt{X_{0}^{2} + Y_{0}^{2} }$.
