Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14618
2020-12-16 
Груз весом $P$ подвешен на нерастяжимом однородном тросе длиной $l$, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения.
Момент инерции барабана относительно оси вращения $I$, радиус барабана - $R$, вес единицы длины каната - $q$.
Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна $x$, если в начальный момент скорость груза $v_{0} = 0$, а длина свисающей части каната была $x_{0}$; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения энергии для системы, состоящей из груза, троса и барабана;.
$T_{0} + \Pi_{0} = T + \Pi$,
Здесь $T_{0}, \Pi_{0}$ - кинетическая и потенциальная энергии системы в начальный момент времени,
$T, \Pi$ - кинетическая и потенциальная энергии системы в момент, когда груз $P$ опустится на расстояние $x$.
$T_{0}$, так как в начальный момент времени система покоилась.
$\Pi_{0} = \Pi_{грузы} + \Pi_{троса} = - \left ( Px_{0} + \frac{qx_{0}^{2} }{2} \right )$ (полагаем, $\Pi = 0$ на горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения барабана.
Потенциальная энергия барабана равна нулю, так как он не меняет своего положения.
Подсчитаем потенциальную и кинетическую энергии в момент, когда груз $P$ опустится: $\Pi = - \left ( Px + \frac{qx^{2} }{1} \right )$,
$T = T_{груза} + T_{троса} + T_{барабана} = \frac{Pv^{2} }{2g} + \frac{ql}{g} \frac{v^{2} }{2} + I \frac{ \omega^{2} }{2}$,
Если подставить значение $\omega = \frac{v}{R}$, то
$T = \frac{1}{2gR^{2} } v^{2} (PR^{2} + Ig + qlR^{2})$.
Запишем закон сохранения энергии:
$- \left ( Px_{0} + \frac{qx_{0}^{2} }{2} \right ) = - \left ( Px + \frac{qx^{2} }{2} \right ) + \frac{v^{2} }{2gR} (PR^{2} + Ig + qlR^{2} )$,
откуда
$v^{2} = \frac{gR^{2} (x - x_{0} ) (q(x_{0} + x ) + 2P ) }{PR^{2} + Ig + qlR^{2} }$.
Груз весом $P$ подвешен на нерастяжимом однородном тросе длиной $l$, навитом на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вращения.
Момент инерции барабана относительно оси вращения $I$, радиус барабана - $R$, вес единицы длины каната - $q$.
Определить скорость груза в момент, когда длина свисающей части каната равна $x$, если в начальный момент скорость груза $v_{0} = 0$, а длина свисающей части каната была $x_{0}$; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пренебречь.
Решение:
Воспользуемся законом сохранения энергии для системы, состоящей из груза, троса и барабана;.
$T_{0} + \Pi_{0} = T + \Pi$,
Здесь $T_{0}, \Pi_{0}$ - кинетическая и потенциальная энергии системы в начальный момент времени,
$T, \Pi$ - кинетическая и потенциальная энергии системы в момент, когда груз $P$ опустится на расстояние $x$.
$T_{0}$, так как в начальный момент времени система покоилась.
$\Pi_{0} = \Pi_{грузы} + \Pi_{троса} = - \left ( Px_{0} + \frac{qx_{0}^{2} }{2} \right )$ (полагаем, $\Pi = 0$ на горизонтальной плоскости, проходящей через ось вращения барабана.
Потенциальная энергия барабана равна нулю, так как он не меняет своего положения.
Подсчитаем потенциальную и кинетическую энергии в момент, когда груз $P$ опустится: $\Pi = - \left ( Px + \frac{qx^{2} }{1} \right )$,
$T = T_{груза} + T_{троса} + T_{барабана} = \frac{Pv^{2} }{2g} + \frac{ql}{g} \frac{v^{2} }{2} + I \frac{ \omega^{2} }{2}$,
Если подставить значение $\omega = \frac{v}{R}$, то
$T = \frac{1}{2gR^{2} } v^{2} (PR^{2} + Ig + qlR^{2})$.
Запишем закон сохранения энергии:
$- \left ( Px_{0} + \frac{qx_{0}^{2} }{2} \right ) = - \left ( Px + \frac{qx^{2} }{2} \right ) + \frac{v^{2} }{2gR} (PR^{2} + Ig + qlR^{2} )$,
откуда
$v^{2} = \frac{gR^{2} (x - x_{0} ) (q(x_{0} + x ) + 2P ) }{PR^{2} + Ig + qlR^{2} }$.
