Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14614
2020-12-16 
На кривошип $OA = r$ кривошипно-кулисного механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, действует постоянный вращающий момент $M$. Определить, какую угловую скорость приобретает кривошип после поворота его на угол $\phi$, если в начальный момент система находилась в покое, а кривошип был расположен на прямой ОК. Кривошип считать однородным стержнем веса $P_{1}$; вес кулисы $P_{2}$; трением и массой ползуна пренебречь.
Решение:
В этой задаче рассматривается движение системы, состоящей из двух абсолютно твердых тел: кривошипа и кулисы. Внешними силами, действующими на систему, являются $\vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}$, вращающий момент $M$, сила реакции в шарнире О, реакция направляющих $K$.
Применим теорему об изменении кинетической энергии
$T - T_{0} = A^{(e)} + A_{(i)}$,
$T_{0} = 0$, так как система в начальный момент покоилась.
$A_{(i)} = 0$, так как система неизменяема.
$T = T_{OA} + T_{BC}$ - кинетическая энергия системы в момент, когда кривошип повернулся на угол $\phi$.
$T_{OA}$ - кинетическая энергия кривошипа. Кривошип оовершает вращательное движение вокруг оси O. Момент инерции его относительно оси вращения $I_{0} = \frac{1}{3} m{OA} \cdot OA^{2} = \frac{1}{3} \frac{P_{1} }{g} r^{2}$.
Следовательно, $T_{OA} = \frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} = \frac{1}{6} \frac{P_{1} }{g} \omega^{2} r^{2}$, где $\omega$ - интересующая нас угловая скорость вращения кривошипа.
Кулиса BC совершает поступательное движение, ее кинетическая энергия будет
$T_{BC} = \frac{1}{2} m_{BC} v_{BC}^{2} = \frac{1}{2} \frac{P_{2}}{g} v_{BC}^{2}$,
Здесь через $v_{BC}$ обозначена скорость кулисы. Чтобы определить $v_{BC}$, рассмотрим движение точки А. Движение точки А можно представить суммой двух движений: относительного - вдоль кулисы и переносного - вместе с кулисой. Следовательно, абсолютная скорость точки А может быть представлена суммой $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{A/BC} + \vec{v}_{BC}$.
Абсолютная скорость $v_{A} = \omega \cdot OA = \omega r$ и направлена перпендикулярно OA; относительная скорость $\vec{v}_{A/BC}$ направлена вдоль прорези кулисы; переносная скорость точки $\vec{v}_{BC}$ направлена горизонтально.
Зная $\vec{v}_{A}$ и направления $\vec{v}_{A/BC}$ и $\vec{v}_{BC}$ построим параллелограмм скоростей, откуда
$v_{BC} = v_{A} \sin \phi = \omega r \sin \phi$.
Теперь имеем возможность записать значение кинетической энергии системы окончательно:
$T = \frac{1}{6} \frac{P_{1}}{g} \omega^{2}r^{2} + \frac{1}{2} \frac{P_{2} }{g} \omega^{2} r^{2} \sin^{2} \phi = \frac{ \omega^{2}r^{2} }{6g} (P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi )$.
Подсчитаем работу внешних сил, действующих на систему. Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то работа оил тяжести равна нулю. Шарнир O неподвижен, следовательно, сила реакции работы не производит. Трением пренебрегаем. Работа вращающего момента равна произведению величины момента на угол поворота тела.
Итак, $A^{e} = M \phi$, и теорема об изменении кинетической энергии этого механизма дает уравнение:
$\frac{ \omega^{2}r^{2} }{6g} (P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi ) = M \phi$,
откуда определяем $\omega$:
$\omega = \frac{1}{r} \sqrt{ \frac{6gM \phi }{P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi } }$.
Легко видеть, что угловая скорость кривошипа зависит от угла поворота кривошипа, то есть $\omega$ меняется с изменением $\phi$.
На кривошип $OA = r$ кривошипно-кулисного механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, действует постоянный вращающий момент $M$. Определить, какую угловую скорость приобретает кривошип после поворота его на угол $\phi$, если в начальный момент система находилась в покое, а кривошип был расположен на прямой ОК. Кривошип считать однородным стержнем веса $P_{1}$; вес кулисы $P_{2}$; трением и массой ползуна пренебречь.
Решение:
В этой задаче рассматривается движение системы, состоящей из двух абсолютно твердых тел: кривошипа и кулисы. Внешними силами, действующими на систему, являются $\vec{P}_{1}, \vec{P}_{2}$, вращающий момент $M$, сила реакции в шарнире О, реакция направляющих $K$.
Применим теорему об изменении кинетической энергии
$T - T_{0} = A^{(e)} + A_{(i)}$,
$T_{0} = 0$, так как система в начальный момент покоилась.
$A_{(i)} = 0$, так как система неизменяема.
$T = T_{OA} + T_{BC}$ - кинетическая энергия системы в момент, когда кривошип повернулся на угол $\phi$.
$T_{OA}$ - кинетическая энергия кривошипа. Кривошип оовершает вращательное движение вокруг оси O. Момент инерции его относительно оси вращения $I_{0} = \frac{1}{3} m{OA} \cdot OA^{2} = \frac{1}{3} \frac{P_{1} }{g} r^{2}$.
Следовательно, $T_{OA} = \frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} = \frac{1}{6} \frac{P_{1} }{g} \omega^{2} r^{2}$, где $\omega$ - интересующая нас угловая скорость вращения кривошипа.
Кулиса BC совершает поступательное движение, ее кинетическая энергия будет
$T_{BC} = \frac{1}{2} m_{BC} v_{BC}^{2} = \frac{1}{2} \frac{P_{2}}{g} v_{BC}^{2}$,
Здесь через $v_{BC}$ обозначена скорость кулисы. Чтобы определить $v_{BC}$, рассмотрим движение точки А. Движение точки А можно представить суммой двух движений: относительного - вдоль кулисы и переносного - вместе с кулисой. Следовательно, абсолютная скорость точки А может быть представлена суммой $\vec{v}_{A} = \vec{v}_{A/BC} + \vec{v}_{BC}$.
Абсолютная скорость $v_{A} = \omega \cdot OA = \omega r$ и направлена перпендикулярно OA; относительная скорость $\vec{v}_{A/BC}$ направлена вдоль прорези кулисы; переносная скорость точки $\vec{v}_{BC}$ направлена горизонтально.
Зная $\vec{v}_{A}$ и направления $\vec{v}_{A/BC}$ и $\vec{v}_{BC}$ построим параллелограмм скоростей, откуда
$v_{BC} = v_{A} \sin \phi = \omega r \sin \phi$.
Теперь имеем возможность записать значение кинетической энергии системы окончательно:
$T = \frac{1}{6} \frac{P_{1}}{g} \omega^{2}r^{2} + \frac{1}{2} \frac{P_{2} }{g} \omega^{2} r^{2} \sin^{2} \phi = \frac{ \omega^{2}r^{2} }{6g} (P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi )$.
Подсчитаем работу внешних сил, действующих на систему. Так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то работа оил тяжести равна нулю. Шарнир O неподвижен, следовательно, сила реакции работы не производит. Трением пренебрегаем. Работа вращающего момента равна произведению величины момента на угол поворота тела.
Итак, $A^{e} = M \phi$, и теорема об изменении кинетической энергии этого механизма дает уравнение:
$\frac{ \omega^{2}r^{2} }{6g} (P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi ) = M \phi$,
откуда определяем $\omega$:
$\omega = \frac{1}{r} \sqrt{ \frac{6gM \phi }{P_{1} + 3P_{2} \sin^{2} \phi } }$.
Легко видеть, что угловая скорость кривошипа зависит от угла поворота кривошипа, то есть $\omega$ меняется с изменением $\phi$.
