Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14613
2020-12-16 
Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести, с постоянной угловой скоростью $\omega_{1}$; при этом на платформе стоят четыре человека одинакового веса: два - на краю платформы (в точках A и B) и два - на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы (в точках С и D ) (рис.а).
Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной линейной скоростью $u$, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной линейной скоростью $2u$?
Решение:
Рассматриваемая механическая система состоит из тяжелой платформы, четырех человек и невесомого стержня $O_{1}O_{2}$.
Освобождаем эту систему от наложенных на нее связей (цилиндрического шарнира $O_{2}$ и подпятника $O_{1}$), заменяем их действие силами реакций ( $\vec{R}_{1}$ и $\vec{R}_{2}$) (см.рис.б).
К активным внешним силам, действующим на систему, относятся вес платформы $\vec{Q}$ и веса $\vec{P}$ каждого из четырех человек.
Записываем теорему о кинетическом моменте для системы относительно оси вращения:
$\frac{dL_{z} }{dt} = m_{z}( \vec{Q} ) + m_{z} ( \vec{P}_{1} ) + m_{z} ( \vec{P}_{B} ) + m_{z} ( \vec{P}_{c} ) + m_{z} ( \vec{P}_{D} ) + m_{z}( \vec{R}_{1} ) + m_{z} ( \vec{R}_{2} )$.
Легко видеть, что каждое из слагаемых правой части равно нулю, следовательно,
$\frac{dL_{z} }{dt} = 0$ и $L_{z} = const$,
то есть кинетический момент системы относительно оси z постоянен во все время движения.
Подсчитываем значение $L_{z1}$, когда платформа вращалась с угловой скоростью $\omega_{1}$, а люди относительно платформы были неподвижны; затем подсчитываем , когда платформа вращается с новой угловой скоростью $\omega_{2}$ и люди относительно платформы движутся, согласно условию задачи.
$L_{z1} = L_{z1 \: платф} + 2l_{z1A} + 2l_{z1C}$, где
$L_{z1 \: платф} = I_{z} \omega_{1} = \frac{Q}{g} \frac{R^{2} }{2} \omega_{1}$;
$l_{z1A} = l_{z1B} = \frac{P}{g} v_{A} \cdot R = \frac{P}{g} \omega_{1} R^{2}$;
$l_{z1C} = l_{z1D} = \frac{P}{g} v_{C} \cdot \frac{R}{2} = \frac{P}{g} \omega_{1} \frac{R^{2} }{4}$.
Подставляя эти выражения в $L_{z1}$, получаем
$L_{z1} = \omega_{1} \frac{R^{2} }{2g} (Q + 5P)$. (40)
Аналогично подсчитываем значение $L_{z2}$:
$L_{z2} = L_{z2 \: платф} + 2l_{z2A} + 2l_{z2C}$,
$L_{z2 \: платф} = I_{Z} \omega_{2} = \frac{Q}{g} \frac{R^{2} }{2} \omega_{2}$.
При подсчете кинетических моментов точек А, B, С и D следует подсчитать величины их абсолютных скоростей (см.рис.г):
$v_{A} = v_{B} = v_{A}^{пер} + v_{A}^{отн} = \omega_{2}R + u$,
$v_{C} = v_{D} = v_{C}^{пер} + v_{C}^{отн} = \omega_{2} \frac{R}{2} - 2u$.
Тогда
$l_{z2A} = l_{z2B} = \frac{P}{g} v_{A}R = \frac{P}{g} ( \omega_{2}R + u )R$,
$l_{z2C} = l_{z2D} = \frac{P}{g} v_{B} \frac{R}{2} = \frac{P}{g} ( \omega_{2}R - 2u ) \frac{R}{2}$,
После подстановки этих величин в выражение $L_{z2}$ получаем
$L_{z2} = \frac{R^{2} }{2g} \omega_{2} (Q + 5P)$. (41)
Приравнивая $L_{z1}$ и $L_{z2}$ находим, что $\omega_{2} = \omega_{1}$. То есть угловая скорость платформы осталась прежней
Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести, с постоянной угловой скоростью $\omega_{1}$; при этом на платформе стоят четыре человека одинакового веса: два - на краю платформы (в точках A и B) и два - на расстояниях от оси вращения, равных половине радиуса платформы (в точках С и D ) (рис.а).
Как изменится угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сторону вращения с относительной линейной скоростью $u$, а люди, стоящие на расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в противоположную сторону с относительной линейной скоростью $2u$?
Решение:
Рассматриваемая механическая система состоит из тяжелой платформы, четырех человек и невесомого стержня $O_{1}O_{2}$.
Освобождаем эту систему от наложенных на нее связей (цилиндрического шарнира $O_{2}$ и подпятника $O_{1}$), заменяем их действие силами реакций ( $\vec{R}_{1}$ и $\vec{R}_{2}$) (см.рис.б).
К активным внешним силам, действующим на систему, относятся вес платформы $\vec{Q}$ и веса $\vec{P}$ каждого из четырех человек.
Записываем теорему о кинетическом моменте для системы относительно оси вращения:
$\frac{dL_{z} }{dt} = m_{z}( \vec{Q} ) + m_{z} ( \vec{P}_{1} ) + m_{z} ( \vec{P}_{B} ) + m_{z} ( \vec{P}_{c} ) + m_{z} ( \vec{P}_{D} ) + m_{z}( \vec{R}_{1} ) + m_{z} ( \vec{R}_{2} )$.
Легко видеть, что каждое из слагаемых правой части равно нулю, следовательно,
$\frac{dL_{z} }{dt} = 0$ и $L_{z} = const$,
то есть кинетический момент системы относительно оси z постоянен во все время движения.
Подсчитываем значение $L_{z1}$, когда платформа вращалась с угловой скоростью $\omega_{1}$, а люди относительно платформы были неподвижны; затем подсчитываем , когда платформа вращается с новой угловой скоростью $\omega_{2}$ и люди относительно платформы движутся, согласно условию задачи.
$L_{z1} = L_{z1 \: платф} + 2l_{z1A} + 2l_{z1C}$, где
$L_{z1 \: платф} = I_{z} \omega_{1} = \frac{Q}{g} \frac{R^{2} }{2} \omega_{1}$;
$l_{z1A} = l_{z1B} = \frac{P}{g} v_{A} \cdot R = \frac{P}{g} \omega_{1} R^{2}$;
$l_{z1C} = l_{z1D} = \frac{P}{g} v_{C} \cdot \frac{R}{2} = \frac{P}{g} \omega_{1} \frac{R^{2} }{4}$.
Подставляя эти выражения в $L_{z1}$, получаем
$L_{z1} = \omega_{1} \frac{R^{2} }{2g} (Q + 5P)$. (40)
Аналогично подсчитываем значение $L_{z2}$:
$L_{z2} = L_{z2 \: платф} + 2l_{z2A} + 2l_{z2C}$,
$L_{z2 \: платф} = I_{Z} \omega_{2} = \frac{Q}{g} \frac{R^{2} }{2} \omega_{2}$.
При подсчете кинетических моментов точек А, B, С и D следует подсчитать величины их абсолютных скоростей (см.рис.г):
$v_{A} = v_{B} = v_{A}^{пер} + v_{A}^{отн} = \omega_{2}R + u$,
$v_{C} = v_{D} = v_{C}^{пер} + v_{C}^{отн} = \omega_{2} \frac{R}{2} - 2u$.
Тогда
$l_{z2A} = l_{z2B} = \frac{P}{g} v_{A}R = \frac{P}{g} ( \omega_{2}R + u )R$,
$l_{z2C} = l_{z2D} = \frac{P}{g} v_{B} \frac{R}{2} = \frac{P}{g} ( \omega_{2}R - 2u ) \frac{R}{2}$,
После подстановки этих величин в выражение $L_{z2}$ получаем
$L_{z2} = \frac{R^{2} }{2g} \omega_{2} (Q + 5P)$. (41)
Приравнивая $L_{z1}$ и $L_{z2}$ находим, что $\omega_{2} = \omega_{1}$. То есть угловая скорость платформы осталась прежней
