Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14612
2020-12-16 
Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным $M$; при этом возникает момент сил сопротивления $M_{1}$, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела $M_{1} = \alpha \omega^{2}$.
Момент инерции твердого тела относительно оси z равен $I$.
Найти вакон изменения угловой скорости $\omega = \omega(t)$ (рис.а).
Решение:
Рассматриваем систему материальных точек, представляющих в нашем случае твердое тело.
Освобождаем это тело от наложенных на него связей в точках $O_{1}$ - подпятник, и $O_{2}$ - подшипник, заменяя связи силами реакций связей. Вычерчиваем составляющие стих реакций по осям координат (см.рис.б). Здесь же вычерчиваем $M_{1}$ - момент сил сопротивления.
Вычерчиваем активную силу-вес $\vec{P}$ и вращающий момент $M$.
Записываем теорему о кинетическом моменте системы в форме
$I_{2} \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = M - M_{1} + m_{z} ( \vec{R}_{O_{1} } ) + m_{z}( \vec{R}_{O_{2} } ) + m_{z}( \vec{P} )$.
Учитывая, что
$m_{z} ( \vec{R}_{O_{1} } ) = 0, m_{z} ( \vec{R}_{O_{2} } ) = 0, m_{z} ( \vec{P} ) = 0$
и что $M_{1} = \alpha \omega^{2}$, получаем $I \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = M - \alpha \omega^{2}$ или $I \frac{d \omega }{dt} = M - \alpha \omega^{2}$.
Разделим переменные $\frac{d \omega }{M - \alpha \omega^{2} } = \frac{dt}{I}$ и, учитывая начальное условие: при $t = 0, \omega_{0} = 0$, проинтегрируем
$\int_{0}^{ \omega } \frac{d \omega }{M - \alpha \omega^{2} } = \int_{0}^{t} \frac{dt}{I}$
или $\frac{1}{2 \sqrt{M \alpha } } ln \frac{ \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } + \omega }{ \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } - \omega } = \frac{t}{I}$, откуда, потенцируя и сделав простейшие алгебраические преобразования, находим закон изменения угловой скорости $\omega$ с течением времени
$\omega = \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } \frac{e^{ \frac{2 \sqrt{M \alpha } }{I} } - 1 }{e^{ \frac{2 \sqrt{M \alpha } }{I} } + 1 }$.
Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным $M$; при этом возникает момент сил сопротивления $M_{1}$, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела $M_{1} = \alpha \omega^{2}$.
Момент инерции твердого тела относительно оси z равен $I$.
Найти вакон изменения угловой скорости $\omega = \omega(t)$ (рис.а).
Решение:
Рассматриваем систему материальных точек, представляющих в нашем случае твердое тело.
Освобождаем это тело от наложенных на него связей в точках $O_{1}$ - подпятник, и $O_{2}$ - подшипник, заменяя связи силами реакций связей. Вычерчиваем составляющие стих реакций по осям координат (см.рис.б). Здесь же вычерчиваем $M_{1}$ - момент сил сопротивления.
Вычерчиваем активную силу-вес $\vec{P}$ и вращающий момент $M$.
Записываем теорему о кинетическом моменте системы в форме
$I_{2} \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = M - M_{1} + m_{z} ( \vec{R}_{O_{1} } ) + m_{z}( \vec{R}_{O_{2} } ) + m_{z}( \vec{P} )$.
Учитывая, что
$m_{z} ( \vec{R}_{O_{1} } ) = 0, m_{z} ( \vec{R}_{O_{2} } ) = 0, m_{z} ( \vec{P} ) = 0$
и что $M_{1} = \alpha \omega^{2}$, получаем $I \frac{d^{2} \phi }{dt^{2} } = M - \alpha \omega^{2}$ или $I \frac{d \omega }{dt} = M - \alpha \omega^{2}$.
Разделим переменные $\frac{d \omega }{M - \alpha \omega^{2} } = \frac{dt}{I}$ и, учитывая начальное условие: при $t = 0, \omega_{0} = 0$, проинтегрируем
$\int_{0}^{ \omega } \frac{d \omega }{M - \alpha \omega^{2} } = \int_{0}^{t} \frac{dt}{I}$
или $\frac{1}{2 \sqrt{M \alpha } } ln \frac{ \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } + \omega }{ \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } - \omega } = \frac{t}{I}$, откуда, потенцируя и сделав простейшие алгебраические преобразования, находим закон изменения угловой скорости $\omega$ с течением времени
$\omega = \sqrt{ \frac{M}{ \alpha } } \frac{e^{ \frac{2 \sqrt{M \alpha } }{I} } - 1 }{e^{ \frac{2 \sqrt{M \alpha } }{I} } + 1 }$.
