Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1461
2016-11-25 
Найти период малых колебаний маятника массы $m$ на нити длиной $l$, установленного на тележке массой $M$. Тележка находится на гладкой горизонтальной поверхности.
Решение:
Обозначим через О положение маятника в момент прохождения положения равновесия. Пусть через некоторое время после прохождения равновесия маятник переместился на расстояние $x$; за это же время тележка переместилась в противоположную сторону на расстояние $y$.
Запишем полную механическую энергию системы:
$E = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{MV^{2}}{2} + mgh$, (1)
где
$h = \frac{(x+y)^{2}}{2l}$, (2)
$v \approx v_{x}$ и $V$ — скорости маятника и тележки соответственно. При получении (2) учтено $x + y \ll l$.
Согласно закону сохранения импульса (предполагается, что в начальный момент импульс системы тележка-маятник равен нулю):
$mv_{x} = MV$. (3)
Воспользуемся утверждением о том, что координата центра масс по оси х системы в процессе движения не меняется (внешних сил, действующих на систему вдоль этой оси, нет), и определением центра масс:
$mx - My = 0$. (4)
(отметим, что (3) и (4) эквивалентны, например, из (3) следует (4) и наоборот).
Из (1—4) после несложных преобразований получаем:
$v_{x}^{2} + \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) x^{2} = \frac{2E}{m} \cdot \frac{1}{1 + \frac{m}{M}} = const$,
уравнение стандартного вида для гармонических колебаний.
$T = 2 \pi \frac{1}{ \sqrt{ \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )}}$.
Найти период малых колебаний маятника массы $m$ на нити длиной $l$, установленного на тележке массой $M$. Тележка находится на гладкой горизонтальной поверхности.
Решение:
Обозначим через О положение маятника в момент прохождения положения равновесия. Пусть через некоторое время после прохождения равновесия маятник переместился на расстояние $x$; за это же время тележка переместилась в противоположную сторону на расстояние $y$.
Запишем полную механическую энергию системы:
$E = \frac{mv^{2}}{2} + \frac{MV^{2}}{2} + mgh$, (1)
где
$h = \frac{(x+y)^{2}}{2l}$, (2)
$v \approx v_{x}$ и $V$ — скорости маятника и тележки соответственно. При получении (2) учтено $x + y \ll l$.
Согласно закону сохранения импульса (предполагается, что в начальный момент импульс системы тележка-маятник равен нулю):
$mv_{x} = MV$. (3)
Воспользуемся утверждением о том, что координата центра масс по оси х системы в процессе движения не меняется (внешних сил, действующих на систему вдоль этой оси, нет), и определением центра масс:
$mx - My = 0$. (4)
(отметим, что (3) и (4) эквивалентны, например, из (3) следует (4) и наоборот).
Из (1—4) после несложных преобразований получаем:
$v_{x}^{2} + \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right ) x^{2} = \frac{2E}{m} \cdot \frac{1}{1 + \frac{m}{M}} = const$,
уравнение стандартного вида для гармонических колебаний.
$T = 2 \pi \frac{1}{ \sqrt{ \frac{g}{l} \left ( 1 + \frac{m}{M} \right )}}$.
