Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14605
2020-12-16 
Электрический мотор весом $P$ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте. На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной $2l$ и весом $P$, на другой конец стержня насажен точечный груз Q; угловая скорость вала равна $\omega$.
Определить горизонтальное движение мотора. Направление осей координат показано на рис.б,
Решение:
Внешними силами, действующими на систему, состоящую из мотора, стержня и точечного груза, являются:
вес мотора $\vec{P}_{1}$ приложен в точке $C_{1}(x_{1},0)$;
вес стержня $\vec{P}$ приложен в точке $C_{2}(x_{1} + l \sin \omega t, l \cos \omega t)$;
вес точечного груза $\vec{Q}$ в приложен в точке $C_{3} (x_{1} + 2l \sin \omega t, 2l \cos \omega t)$. Здесь $x_{1}$ - неизвестная координата центра тяжести мотора.
Так как мотор установлен без креплений на гладком фундаменте то силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ направлены по вертикали.
Теорема о движении центра масс этой системы запишется:
$M \vec{w}_{c} = \vec{P}_{1} + \vec{P} + \vec{Q} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$
Нас интересует горизонтальное движение мотора, поэтому проектируем это векторное равенство на ось x:
$M \frac{d^{2}x_{2} }{dt^{2} } = 0$
Следовательно, $\frac{dx_{c} }{dt} = const =0$, так как в начальный момент времени система покоилась. Отсюда следует, что
$x_{c} = const$.
Таким образом, мы видим, что если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент эта проекция была равна нулю» то центр масс системы в атом случае вдоль данной оси перемещаться не будет.
И вообще, если на систему действуют такие внешние силы, что $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{l} = 0$, то скорость центра масс $\vec{v}_{c} = const$, то есть центр масс либо движется равномерно и прямолинейно, либо находится в состоянии покоя. В атом и заключается закон сохранения движения центра масс системы.
Найдем координату $x_{c}$ центра масс рассматриваемой системы:
$x_{c} = \frac{P_{1}x_{1} + P(l \sin \omega t + x_{1} ) + Q(2l \sin \omega t + x_{1} ) }{P_{1} + P + Q }$,
Будем считать, что ооь $y$ проходит черва центр масс. Тогда $x_{c}$ равна нулю и
$x_{1} (P_{1} + P + Q) + l \sin \omega t(P + 2Q) = 0$.
Отсюда легко определяем закон горизонтального движения мотора:
$x_{1} = - \frac{P + 2Q}{P_{1} + P + Q} l \sin \omega t$.
То есть мотор, совершает гармонические колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $\frac{P + 2Q}{P_{1} + P + Q } l$.
Электрический мотор весом $P$ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте. На валу мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длиной $2l$ и весом $P$, на другой конец стержня насажен точечный груз Q; угловая скорость вала равна $\omega$.
Определить горизонтальное движение мотора. Направление осей координат показано на рис.б,
Решение:
Внешними силами, действующими на систему, состоящую из мотора, стержня и точечного груза, являются:
вес мотора $\vec{P}_{1}$ приложен в точке $C_{1}(x_{1},0)$;
вес стержня $\vec{P}$ приложен в точке $C_{2}(x_{1} + l \sin \omega t, l \cos \omega t)$;
вес точечного груза $\vec{Q}$ в приложен в точке $C_{3} (x_{1} + 2l \sin \omega t, 2l \cos \omega t)$. Здесь $x_{1}$ - неизвестная координата центра тяжести мотора.
Так как мотор установлен без креплений на гладком фундаменте то силы реакции $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$ направлены по вертикали.
Теорема о движении центра масс этой системы запишется:
$M \vec{w}_{c} = \vec{P}_{1} + \vec{P} + \vec{Q} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$
Нас интересует горизонтальное движение мотора, поэтому проектируем это векторное равенство на ось x:
$M \frac{d^{2}x_{2} }{dt^{2} } = 0$
Следовательно, $\frac{dx_{c} }{dt} = const =0$, так как в начальный момент времени система покоилась. Отсюда следует, что
$x_{c} = const$.
Таким образом, мы видим, что если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина постоянная. В частности, если в начальный момент эта проекция была равна нулю» то центр масс системы в атом случае вдоль данной оси перемещаться не будет.
И вообще, если на систему действуют такие внешние силы, что $\sum_{k = 1}^{n} F_{k}^{l} = 0$, то скорость центра масс $\vec{v}_{c} = const$, то есть центр масс либо движется равномерно и прямолинейно, либо находится в состоянии покоя. В атом и заключается закон сохранения движения центра масс системы.
Найдем координату $x_{c}$ центра масс рассматриваемой системы:
$x_{c} = \frac{P_{1}x_{1} + P(l \sin \omega t + x_{1} ) + Q(2l \sin \omega t + x_{1} ) }{P_{1} + P + Q }$,
Будем считать, что ооь $y$ проходит черва центр масс. Тогда $x_{c}$ равна нулю и
$x_{1} (P_{1} + P + Q) + l \sin \omega t(P + 2Q) = 0$.
Отсюда легко определяем закон горизонтального движения мотора:
$x_{1} = - \frac{P + 2Q}{P_{1} + P + Q} l \sin \omega t$.
То есть мотор, совершает гармонические колебания с частотой $\omega$ и амплитудой $\frac{P + 2Q}{P_{1} + P + Q } l$.
