Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14601
2020-12-16 
Трубка вращаетcя с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, составляя с ней все время прямой угол. В трубке находится шарик массы $m$, скрепленный с ней посредством пружины жесткости $c$. В начальный момент шарик находился на расстоянии $a$ от оси трубки и был отпущен без начальной скорости; пружина при этом не деформирована. Определить последующее движение шарика вдоль трубки, совместив начало координат с начальным положением шарика. Трением пренебречь.
Решение:
Выберем подвижные оси координат, как показано на рисунке.
На шарик действуют силы:
$\vec{Q}$ - сила тяжести;
$F_{упр} = cy$ - упругая сила пружины;
$\vec{N} = N_{2} \vec{i} + N_{2} \vec{k}$ - сила реакции трубки.
Приложим оилы инерции. Для этого подсчитаем $\vec{w}_{пер}$ и $\vec{w}_{кор}$. Так как вращение трубки равномерное, то $w_{пер} = w_{пер}^{n} = \omega^{2} (a + y)$ и направлено по трубке к оси вращения. Ускорение кориолиса равно $\vec{w}_{кор} = 2 \vec{ \omega} \times \vec{v}_{отн}, w_{кор} = 2 \omega v_{отн} \sin ( \hat{ \vec{ \omega }, \vec{v}_{отн} } )$.
Так как $v_{отн} = \frac{dy}{dt}, \vec{ \omega } \perp \vec{v}_{отн}$, то $w_{кор} = 2 \omega \frac{dy}{dt}$ направлено параллельно оси x.
тогда $F_{ин}^{пер} = m \omega^{2} (a + y)$ и $F_{ин}^{кор} = 2m \omega \frac{dy}{dt}$.
Направлены эти силы в стороны, противоположные направлениям соответствующих ускорений.
Закон относительного движения записывается:
$m \vec{w}_{отн} = \vec{Q} + \vec{N} + \vec{F}_{упр} + \vec{F}_{ин}^{пер} + \vec{F}_{ин}^{кор}$
Начальные условия имеют вид: при $t = 0$ $\begin{cases} y_{0} = 0, \\ v_{отн} = \left . \frac{dy}{dt} \right |_{t = 0} = 0 \end{cases}$
Проектируем закон относительного движения на оси $x, y, z$
$\begin{cases} 0 = F_{ин}^{кор} - N_{x} \\ m \frac{d^{2}t }{dt^{2} } = - F_{упр} + F_{ин}^{пер} \\ 0 = - Q - N_{z} \end{cases}$
1-е и 3-е уравнения служат для определения силы реакции трубки
$N_{x} = F_{ин}^{кор} , N_{z} = Q, N = \sqrt{ Q^{2} + 4m^{2} \omega^{2} \left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2} }$
2-е уравнение является дифференциальным уравнением относительного движения шарика.
После небольших преобразований это дифференциальное уравнение запишется в виде:
$\frac{d^{2}y }{dt^{2} } + \left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right )y = \omega^{2}a$.
Таким обраэом, задача сводится к нахождению решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами.
Решение этого уравнения складывается из общего решения $y_{1}$ однородного уравнения и частного решения $y_{2}$ неоднородного уравнения:
$y = y_{1} + y_{2}$.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде постоянного числа
$y_{2} = A$.
Подставляя это решение в дифференциальное уравнение, получим
$\left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right )A = \omega^{2}a$, откуда $A = \frac{ \omega^{2}a }{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
Теперь найдем общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение запишется $r^{2} + \left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right ) = 0$.
Откуда $r_{1,2} = \pm \sqrt{ \omega^{2} - \frac{c}{m} }$.
Положим $\frac{c}{m} > \omega^{2}$, тогда $r_{1,2} = i \sqrt{ \frac{c}{m} - \omega^{2} } = \pm ik$, где $k = \sqrt{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
В таком случае $y_{1} = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$ и общее решение запишется
$y = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt + \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} }$,
Это решение должно удовлетворять начальным условиям, воспользовавшись которыми, получаем:
$\begin{cases} 0 = C_{1} + \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} } \\ 0 = kC_{2} \end{cases}$
Откуда $C_{1} = - \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} }, C_{2} = 0$ и решение примет вид
$y = \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} } (1 - \cos kt)$.
Итак, мы получили следующее: если $\frac{c}{m} > \omega^{2}$, то есть, если частота собственных колебаний шарика больше угловой скорости вращения трубки, то шарик в трубке будет совершать гармонические колебания. ^
Если же $\frac{c}{m} < \omega^{2}$, то движение шарика будет апериодическим, так как в этом случае корни характеристического уравнения будут равны двум разным действительным числам $r_{1} = + \alpha, \alpha^{2} = \left ( \omega^{2} - \frac{c}{m} \right ), r_{2} = - \alpha$, и общее решение дифференциального уравнения запишется в виде $y = C_{1}e^{ \alpha t} + C_{2} e^{ - \alpha t} + \frac{ \omega^{2}a }{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
Если $\frac{c}{m} = \omega^{2}$, то дифференциальное уравнение относительного движения примет вид $\frac{d^{2}y }{dt^{2} } = \omega^{2}a$. И решение будет: $y =\frac{1}{2} \omega^{2} at^{2}$, то есть шарик в этом случае движется по трубке равноускоренно.
Трубка вращаетcя с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, составляя с ней все время прямой угол. В трубке находится шарик массы $m$, скрепленный с ней посредством пружины жесткости $c$. В начальный момент шарик находился на расстоянии $a$ от оси трубки и был отпущен без начальной скорости; пружина при этом не деформирована. Определить последующее движение шарика вдоль трубки, совместив начало координат с начальным положением шарика. Трением пренебречь.
Решение:
Выберем подвижные оси координат, как показано на рисунке.
На шарик действуют силы:
$\vec{Q}$ - сила тяжести;
$F_{упр} = cy$ - упругая сила пружины;
$\vec{N} = N_{2} \vec{i} + N_{2} \vec{k}$ - сила реакции трубки.
Приложим оилы инерции. Для этого подсчитаем $\vec{w}_{пер}$ и $\vec{w}_{кор}$. Так как вращение трубки равномерное, то $w_{пер} = w_{пер}^{n} = \omega^{2} (a + y)$ и направлено по трубке к оси вращения. Ускорение кориолиса равно $\vec{w}_{кор} = 2 \vec{ \omega} \times \vec{v}_{отн}, w_{кор} = 2 \omega v_{отн} \sin ( \hat{ \vec{ \omega }, \vec{v}_{отн} } )$.
Так как $v_{отн} = \frac{dy}{dt}, \vec{ \omega } \perp \vec{v}_{отн}$, то $w_{кор} = 2 \omega \frac{dy}{dt}$ направлено параллельно оси x.
тогда $F_{ин}^{пер} = m \omega^{2} (a + y)$ и $F_{ин}^{кор} = 2m \omega \frac{dy}{dt}$.
Направлены эти силы в стороны, противоположные направлениям соответствующих ускорений.
Закон относительного движения записывается:
$m \vec{w}_{отн} = \vec{Q} + \vec{N} + \vec{F}_{упр} + \vec{F}_{ин}^{пер} + \vec{F}_{ин}^{кор}$
Начальные условия имеют вид: при $t = 0$ $\begin{cases} y_{0} = 0, \\ v_{отн} = \left . \frac{dy}{dt} \right |_{t = 0} = 0 \end{cases}$
Проектируем закон относительного движения на оси $x, y, z$
$\begin{cases} 0 = F_{ин}^{кор} - N_{x} \\ m \frac{d^{2}t }{dt^{2} } = - F_{упр} + F_{ин}^{пер} \\ 0 = - Q - N_{z} \end{cases}$
1-е и 3-е уравнения служат для определения силы реакции трубки
$N_{x} = F_{ин}^{кор} , N_{z} = Q, N = \sqrt{ Q^{2} + 4m^{2} \omega^{2} \left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2} }$
2-е уравнение является дифференциальным уравнением относительного движения шарика.
После небольших преобразований это дифференциальное уравнение запишется в виде:
$\frac{d^{2}y }{dt^{2} } + \left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right )y = \omega^{2}a$.
Таким обраэом, задача сводится к нахождению решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами.
Решение этого уравнения складывается из общего решения $y_{1}$ однородного уравнения и частного решения $y_{2}$ неоднородного уравнения:
$y = y_{1} + y_{2}$.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде постоянного числа
$y_{2} = A$.
Подставляя это решение в дифференциальное уравнение, получим
$\left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right )A = \omega^{2}a$, откуда $A = \frac{ \omega^{2}a }{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
Теперь найдем общее решение однородного уравнения. Характеристическое уравнение запишется $r^{2} + \left ( \frac{c}{m} - \omega^{2} \right ) = 0$.
Откуда $r_{1,2} = \pm \sqrt{ \omega^{2} - \frac{c}{m} }$.
Положим $\frac{c}{m} > \omega^{2}$, тогда $r_{1,2} = i \sqrt{ \frac{c}{m} - \omega^{2} } = \pm ik$, где $k = \sqrt{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
В таком случае $y_{1} = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$ и общее решение запишется
$y = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt + \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} }$,
Это решение должно удовлетворять начальным условиям, воспользовавшись которыми, получаем:
$\begin{cases} 0 = C_{1} + \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} } \\ 0 = kC_{2} \end{cases}$
Откуда $C_{1} = - \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} }, C_{2} = 0$ и решение примет вид
$y = \frac{ \omega^{2}a }{k^{2} } (1 - \cos kt)$.
Итак, мы получили следующее: если $\frac{c}{m} > \omega^{2}$, то есть, если частота собственных колебаний шарика больше угловой скорости вращения трубки, то шарик в трубке будет совершать гармонические колебания. ^
Если же $\frac{c}{m} < \omega^{2}$, то движение шарика будет апериодическим, так как в этом случае корни характеристического уравнения будут равны двум разным действительным числам $r_{1} = + \alpha, \alpha^{2} = \left ( \omega^{2} - \frac{c}{m} \right ), r_{2} = - \alpha$, и общее решение дифференциального уравнения запишется в виде $y = C_{1}e^{ \alpha t} + C_{2} e^{ - \alpha t} + \frac{ \omega^{2}a }{ \frac{c}{m} - \omega^{2} }$.
Если $\frac{c}{m} = \omega^{2}$, то дифференциальное уравнение относительного движения примет вид $\frac{d^{2}y }{dt^{2} } = \omega^{2}a$. И решение будет: $y =\frac{1}{2} \omega^{2} at^{2}$, то есть шарик в этом случае движется по трубке равноускоренно.
