Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14600
2020-12-16 
Определить в задаче 14599 закон движения поршня при условии, что в начальный момент он находился в положении статического равновесия и начальная скорость равнялась нулю.
То есть при $t = 0, x_{0} = 0, v_{0} = 0$.
Решение:
Дифференциальное уравнение движения (1) из задачи 14599
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = H \sin pt +G \cos pt$
остается тем же. Общее его решение $x$ имеет вид:
$x = x_{1} + x_{2}$, (2)
где $x_{1}$ - общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1); то есть $x_{1}$ - закон собственных (свободных) колебаний; $x_{2} = x_{вын}$ - частно решение неоднородного уравнения (1), то есть $x_{2}$, как мы видели, является законом вынужденных колебаний.
$x_{2}$ определено нами в задаче 14599 (формула 2). Определим $x_{1}$.
Характеристичеокое уравнение однородного уравнения $\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = 0$, соответствующего неоднородному уравнению (1), имеет мнимые корни
$r_{1,2} = \pm ki$.
Поэтому $x_{1} = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$.
Общее решение (2) запишется:
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt + \frac{H}{k^{2} - p^{2} } \sin pt + \frac{G}{k^{2} - p^{2} } \cos pt$. (3)
Вид уравнения (3) позволяет оказать, что Движение материальной очки получается как результат наложения вынужденных колебаний $\frac{H}{k^{2}- p^{2} } \sin pt + \frac{G}{k^{2} -p^{2} } \cos pt$ на собственные колебания $C_{2} \cos kt + C_{2} \sin kt$.
Для определения $C_{1}$ и $C_{2}$ продифференцируем выражение (3) и воспользуемся начальными условиями
$v = \frac{dx}{dt} = - kC_{1} \sin kt + kC_{2} \cos kt + \frac{pH}{k^{2} -p^{2} } \cos pt - \frac{pG}{k^{2} -p^{2} } \sin pt$
при $t = 0$ $\begin{cases} 0 = C_{1} + \frac{G}{k^{2} -p^{2} } \\ 0 = \frac{pH}{k^{2} -p^{2} } + kC_{2}, \end{cases}$
откуда
$C_{1} = - \frac{G}{k^{2} - p^{2} }, C_{2} = - \frac{pH}{k(k^{2} - p^{2} )}$.
Подставляем $C_{1}$ и $C_{2}$ в (3) и получаем:
$x = - \frac{1}{k^{2} - p^{2} } \left ( G \cos kt + \frac{pH}{k} \sin kt - H \sin pt - G \cos pt \right )$
или после подстановки числовых данных:
$x = 0,04(10 \cos 20 t + 57 \sin 20 t - 46 \sin 8 \pi t - 10 \cos 8 \pi t)$ (см)
Примечание: Следует обратить внимание на то, что амплитуда вынужденных колебаний точки не зависит от начальных условий, в то время как амплитуда собственных колебаний определяется ими.
Определить в задаче 14599 закон движения поршня при условии, что в начальный момент он находился в положении статического равновесия и начальная скорость равнялась нулю.
То есть при $t = 0, x_{0} = 0, v_{0} = 0$.
Решение:
Дифференциальное уравнение движения (1) из задачи 14599
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = H \sin pt +G \cos pt$
остается тем же. Общее его решение $x$ имеет вид:
$x = x_{1} + x_{2}$, (2)
где $x_{1}$ - общее решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению (1); то есть $x_{1}$ - закон собственных (свободных) колебаний; $x_{2} = x_{вын}$ - частно решение неоднородного уравнения (1), то есть $x_{2}$, как мы видели, является законом вынужденных колебаний.
$x_{2}$ определено нами в задаче 14599 (формула 2). Определим $x_{1}$.
Характеристичеокое уравнение однородного уравнения $\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = 0$, соответствующего неоднородному уравнению (1), имеет мнимые корни
$r_{1,2} = \pm ki$.
Поэтому $x_{1} = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$.
Общее решение (2) запишется:
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt + \frac{H}{k^{2} - p^{2} } \sin pt + \frac{G}{k^{2} - p^{2} } \cos pt$. (3)
Вид уравнения (3) позволяет оказать, что Движение материальной очки получается как результат наложения вынужденных колебаний $\frac{H}{k^{2}- p^{2} } \sin pt + \frac{G}{k^{2} -p^{2} } \cos pt$ на собственные колебания $C_{2} \cos kt + C_{2} \sin kt$.
Для определения $C_{1}$ и $C_{2}$ продифференцируем выражение (3) и воспользуемся начальными условиями
$v = \frac{dx}{dt} = - kC_{1} \sin kt + kC_{2} \cos kt + \frac{pH}{k^{2} -p^{2} } \cos pt - \frac{pG}{k^{2} -p^{2} } \sin pt$
при $t = 0$ $\begin{cases} 0 = C_{1} + \frac{G}{k^{2} -p^{2} } \\ 0 = \frac{pH}{k^{2} -p^{2} } + kC_{2}, \end{cases}$
откуда
$C_{1} = - \frac{G}{k^{2} - p^{2} }, C_{2} = - \frac{pH}{k(k^{2} - p^{2} )}$.
Подставляем $C_{1}$ и $C_{2}$ в (3) и получаем:
$x = - \frac{1}{k^{2} - p^{2} } \left ( G \cos kt + \frac{pH}{k} \sin kt - H \sin pt - G \cos pt \right )$
или после подстановки числовых данных:
$x = 0,04(10 \cos 20 t + 57 \sin 20 t - 46 \sin 8 \pi t - 10 \cos 8 \pi t)$ (см)
Примечание: Следует обратить внимание на то, что амплитуда вынужденных колебаний точки не зависит от начальных условий, в то время как амплитуда собственных колебаний определяется ими.
