Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14599
2020-12-16 
Пружина А (рис. а) скреплена со штокам поршня, который находятся в камере В. В зту камеру попеременно сверху и снизу поступает сжатый воздух, вследствие чего сила, действущая на поршень, изменяется по закону $F_{возм} = 230 \sin 8 \pi t + 50 \cos 8 \pi t$ (г).
Определеить вынужденные колебания поршня, если его вес $Q = 490 Г$, а жесткость пружины $C = 200 г/см$. Определить также амплитуду вынужденных колебаний.
Решение:
Закон движения поршня имеет вид. (рис.б)
$m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр} + \vec{F}_{возм}$
или в проекции на ось x:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр} + F_{возм}$, где $F_{упр} = c ( \lambda_{ст} + x )$
После подстановки значений $F_{возм}, F_{упр}$ и небольших преобразований получаем:
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = H \sin pt + G \cos pt$ (1)
Здесь $k^{2} = \frac{c}{m} = 400; H = \frac{230}{m} = 460; G = \frac{50}{m} = 100; p = 8 \pi$.
Так как $k \neq p$, то частное решение уравнения (19) имеет вид:
$x_{вын} = D_{1} \sin pt + D_{2} \cos pt$. (2)
Коэффициенты $D_{1}$ и $D_{2}$ определим, подставив решение (2) в дифференциальное уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях полученного тождества:
$- D_{1}p^{2} \sin pt - D_{2}p^{2} \cos pt + k^{2} (D_{1} \sin pt + D_{2} \cos pt ) = H \sin pt + G \cos pt$;
$- D_{1}p^{2} + D_{1}k^{2} = H$;
$- D_{2}p^{2} + D_{2}l^{2} = G$,
откуда $D_{1} = \frac{H}{k^{2} - p^{2}}; D_{2} = \frac{G}{k^{2} - p^{2} }$.
Значения $D_{1}$ и $D_{2}$ подставляем в (2) и получаем закон вынужденных колебаний поршня:
$x_{вын} = \frac{H}{k^{2} - p^{2} } \sin pt + \frac{G}{ k^{2} - p^{2} } \cos pt$ (2*)
или
$x_{вын} = - 1,9 \sin 8 \pi t - 0,42 \cos 8 \pi t$
Амплитуда этих колебаний равна:
$a = \sqrt{1,9^{2} + 0,42^{2}} \simeq 1,91$ (см )
Пружина А (рис. а) скреплена со штокам поршня, который находятся в камере В. В зту камеру попеременно сверху и снизу поступает сжатый воздух, вследствие чего сила, действущая на поршень, изменяется по закону $F_{возм} = 230 \sin 8 \pi t + 50 \cos 8 \pi t$ (г).
Определеить вынужденные колебания поршня, если его вес $Q = 490 Г$, а жесткость пружины $C = 200 г/см$. Определить также амплитуду вынужденных колебаний.
Решение:
Закон движения поршня имеет вид. (рис.б)
$m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр} + \vec{F}_{возм}$
или в проекции на ось x:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр} + F_{возм}$, где $F_{упр} = c ( \lambda_{ст} + x )$
После подстановки значений $F_{возм}, F_{упр}$ и небольших преобразований получаем:
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = H \sin pt + G \cos pt$ (1)
Здесь $k^{2} = \frac{c}{m} = 400; H = \frac{230}{m} = 460; G = \frac{50}{m} = 100; p = 8 \pi$.
Так как $k \neq p$, то частное решение уравнения (19) имеет вид:
$x_{вын} = D_{1} \sin pt + D_{2} \cos pt$. (2)
Коэффициенты $D_{1}$ и $D_{2}$ определим, подставив решение (2) в дифференциальное уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях полученного тождества:
$- D_{1}p^{2} \sin pt - D_{2}p^{2} \cos pt + k^{2} (D_{1} \sin pt + D_{2} \cos pt ) = H \sin pt + G \cos pt$;
$- D_{1}p^{2} + D_{1}k^{2} = H$;
$- D_{2}p^{2} + D_{2}l^{2} = G$,
откуда $D_{1} = \frac{H}{k^{2} - p^{2}}; D_{2} = \frac{G}{k^{2} - p^{2} }$.
Значения $D_{1}$ и $D_{2}$ подставляем в (2) и получаем закон вынужденных колебаний поршня:
$x_{вын} = \frac{H}{k^{2} - p^{2} } \sin pt + \frac{G}{ k^{2} - p^{2} } \cos pt$ (2*)
или
$x_{вын} = - 1,9 \sin 8 \pi t - 0,42 \cos 8 \pi t$
Амплитуда этих колебаний равна:
$a = \sqrt{1,9^{2} + 0,42^{2}} \simeq 1,91$ (см )
