Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14598
2020-12-16 
Пластинка D весом $Q = 100 г$, подвешенная на пружине АВ в неподвижной точке А, движется между полюсами магнита (рис.а). Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна $R = \mu \Phi^{2} v_{дин}$, где $\mu = 10^{-4}, v$ - скорость в см/сек, $\Phi$ - магнитный поток между полюсами N и S. В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута; жесткость $c = 20 г/см$. Определить движение пластинки в том случав, когда $\Phi = 1000 \sqrt{5}$ ед.СГС
Решение:
Как и в задаче 14597, будем рассматривать пластинку в некоторый произвольный момент времени $t$, когда она движется вниз и пружина растянута (рис.б), Тогда на пластинку действуют силы $\vec{Q}, \vec{F}_{упр}, \vec{R}$.
Ооь х направляем вниз, начало координат - в положении статического равновесия.
Уравнение движения центра тяжести пластинки, а следовательно, и всей пластинки, запишется в виде
$m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр} + \vec{R}$
или в проекциях яа ось x:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр} - R$
Учитывая, что $Q = c \lambda_{ст}$ и $F_{упр} = с( \lambda_{ст} + x)$, получим
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - cx - \mu \Phi^{2} \frac{dx}{dt}$,
или
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + 2n \frac{dx}{dt} + k^{2}x = 0$, (1)
где $2n = \frac{ \mu \Phi^{2} }{m}, k^{2} = \frac{c}{m}$.
Уравнение (1) - дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
Это - дифференциальное уравнение второго порядка, однородное, линейное.
Корни его характеристического уравнения $r^{2} + 2nr + k^{2} = 0$ равны $r_{1,2} = - n \pm \sqrt{n^{2} - k^{2} }$.
Очевидно, что возможны три случая записи общего решения уравнения (1):
Если $n < k$, то, обозначив $k^{2} - n^{2} = k_{1}^{2}$, получим $r_{1,2} = - n + k_{1}i$ и решение имеет вид:
$x = e^{ - nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t )$
Если $n = k$, то $r_{1} = r_{2} = - n$ и решение имеет вид:
$x = e^{ - nt} (C_{1} + C_{2}t )$
Если $n > k$, то $r_{1} \neq r_{2}$ - действительные числа и решение имеет
$x = C_{1} e^{r_{1}t } + C_{2}e^{r_{2}t }$
Как видим, колебательное движение будет лишь в 1-м случае ($n < k$).
В рассматриваемом решении
$n = \frac{ \mu \Phi^{2} }{2m} = 2,5 сек^{-1}$
$k = 14 сек^{-1}$
То есть $n < k, k_{1} = \sqrt{k^{2} - n^{2} } = 13,8 сек^{-1}$.
Поэтому решение имеет вид:
$x = e^{-nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t )$.
Определяем из начальных условий $C_{1}$ и $C_{2}$.
Запишем $v = \frac{dx}{dt} = - ne^{-nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t ) + e{-nt} (-k_{1} C_{1} \sin k_{1}t + k_{1}C_{2} \cos k_{1}t )$.
При $t = 0$, $\begin{cases} x_{0} = C_{1} \\ v_{0} = -nC_{1} + k_{1}C_{2} \end{cases}$
Откуда $C_{2} = \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} }$
Итак, $x = e^{-nt} \left ( x_{0} \cos k_{1}t + \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} } \sin k_{1}t \right )$
или $x = - e^{ -2,5t} (5 \cos 13,8t + 0,91 \sin 13,8 t)$ (см)
Мы видим, что в случае затухающих колебаний амплитуда $a$ равна $a = e^{-nt} \sqrt{x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} } \right )^{2} }$ и с течением времени убывает.
Пластинка D весом $Q = 100 г$, подвешенная на пружине АВ в неподвижной точке А, движется между полюсами магнита (рис.а). Вследствие вихревых токов движение тормозится силой, пропорциональной скорости. Сила сопротивления движению равна $R = \mu \Phi^{2} v_{дин}$, где $\mu = 10^{-4}, v$ - скорость в см/сек, $\Phi$ - магнитный поток между полюсами N и S. В начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута; жесткость $c = 20 г/см$. Определить движение пластинки в том случав, когда $\Phi = 1000 \sqrt{5}$ ед.СГС
Решение:
Как и в задаче 14597, будем рассматривать пластинку в некоторый произвольный момент времени $t$, когда она движется вниз и пружина растянута (рис.б), Тогда на пластинку действуют силы $\vec{Q}, \vec{F}_{упр}, \vec{R}$.
Ооь х направляем вниз, начало координат - в положении статического равновесия.
Уравнение движения центра тяжести пластинки, а следовательно, и всей пластинки, запишется в виде
$m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр} + \vec{R}$
или в проекциях яа ось x:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр} - R$
Учитывая, что $Q = c \lambda_{ст}$ и $F_{упр} = с( \lambda_{ст} + x)$, получим
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - cx - \mu \Phi^{2} \frac{dx}{dt}$,
или
$\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + 2n \frac{dx}{dt} + k^{2}x = 0$, (1)
где $2n = \frac{ \mu \Phi^{2} }{m}, k^{2} = \frac{c}{m}$.
Уравнение (1) - дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
Это - дифференциальное уравнение второго порядка, однородное, линейное.
Корни его характеристического уравнения $r^{2} + 2nr + k^{2} = 0$ равны $r_{1,2} = - n \pm \sqrt{n^{2} - k^{2} }$.
Очевидно, что возможны три случая записи общего решения уравнения (1):
Если $n < k$, то, обозначив $k^{2} - n^{2} = k_{1}^{2}$, получим $r_{1,2} = - n + k_{1}i$ и решение имеет вид:
$x = e^{ - nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t )$
Если $n = k$, то $r_{1} = r_{2} = - n$ и решение имеет вид:
$x = e^{ - nt} (C_{1} + C_{2}t )$
Если $n > k$, то $r_{1} \neq r_{2}$ - действительные числа и решение имеет
$x = C_{1} e^{r_{1}t } + C_{2}e^{r_{2}t }$
Как видим, колебательное движение будет лишь в 1-м случае ($n < k$).
В рассматриваемом решении
$n = \frac{ \mu \Phi^{2} }{2m} = 2,5 сек^{-1}$
$k = 14 сек^{-1}$
То есть $n < k, k_{1} = \sqrt{k^{2} - n^{2} } = 13,8 сек^{-1}$.
Поэтому решение имеет вид:
$x = e^{-nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t )$.
Определяем из начальных условий $C_{1}$ и $C_{2}$.
Запишем $v = \frac{dx}{dt} = - ne^{-nt} (C_{1} \cos k_{1}t + C_{2} \sin k_{1}t ) + e{-nt} (-k_{1} C_{1} \sin k_{1}t + k_{1}C_{2} \cos k_{1}t )$.
При $t = 0$, $\begin{cases} x_{0} = C_{1} \\ v_{0} = -nC_{1} + k_{1}C_{2} \end{cases}$
Откуда $C_{2} = \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} }$
Итак, $x = e^{-nt} \left ( x_{0} \cos k_{1}t + \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} } \sin k_{1}t \right )$
или $x = - e^{ -2,5t} (5 \cos 13,8t + 0,91 \sin 13,8 t)$ (см)
Мы видим, что в случае затухающих колебаний амплитуда $a$ равна $a = e^{-nt} \sqrt{x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} + nx_{0} }{k_{1} } \right )^{2} }$ и с течением времени убывает.
