Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14597
2020-12-16 
Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что жесткость её $C = 20 г/см$ (Жесткоcтью $C$ называется сила, необходимая для удлинения пружины на единицу длины). В некоторый момент к нижнему концу В ведвформмрованной пружины подвешивает гирю веса $Q = 100 г$ и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду $a$, и период колебаний $T$ (рис.а).
Решение:
Рассмотрим некоторый момент времени $t$, когда груз движется вниз (рис.б) и пружина растянута. Вычертим силы $\vec{Q}$ и $\vec{F}_{упр}$, действующе на груз М в этот момент времени. Ось направим вниз.
Тогда можем записать $m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр}$, или, в проекции на ось х
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр}$ (1)
Очевидно, что $F_{упр} = c \lambda$, (2)
где $\lambda$ - удлинение пружины в данный момент времени (см.рис.б). Легко сообразить, что груз М может висеть на пружине неподвижно (см.рис.в). Положение это называется положением статического равновесия. Удлинение пружины в этом случае называется статическим удлинением пружины - $\lambda_{ст}$. В положении отатического равновесия сила тяжести $\vec{Q}$ и $\vec{F}_{упр}$ - статическая сила упругости уравновешиваются (рис.в), то есть
$Q = F_{упр}^{ст}$ или $Q = c \lambda_{ст}$. (3)
Начало координат ($x = 0$) выбираем в положении статического равновесия. Тогда (рис.б)
$\lambda = \lambda_{ст} + x $ (4)
Формулы (2), (3), (4) позволяют уравнение (1) записать в виде:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = c \lambda_{ст} - с( \lambda_{ст} + x )$
или, после простейших преобразований;
$\frac{d^{2} x}{dt^{2} } + k^{2}x = 0$, (5)
где обозначили $k^{2} = \frac{c}{m}$.
Уравнение (5) есть дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебанийю Характеристическое уравнение
$r^{2} + k^{2} = 0$,
соответствующее уравнению (5), имеет корня $r{1,2} = \pm ki$. Поэтому
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$ (6)
Для того, чтобы удовлетворять начальным условиям, подсчитаем скорость точки
$v = \frac{dx}{dt} = - kC_{1} \sin kt + kC_{2} \cos kt$. (7)
Приравнивая $x$ - (14) и $v$ - (7) при $t = 0$ значениям $x_{0}$ и $v_{0}$, соответственно получаем $C_{1} = x_{0}$ и $C_{2} = \frac{v_{0} }{k}$.
Подставляем $C_{1}$ и $C_{2}$ в уравнение (6)
$x = x_{0} \cos kt + \frac{v_{0} }{k} \sin kt$ (8)
Уравнение (8) можно записать в другом виде.
Для этого обозначим $x_{0} = a \sin \alpha; \frac{v_{0} }{k} = a \cos \alpha$ и подставив в (8): $x = a \sin (kt + \alpha )$
Причем $k$ - частота колебаний груза М.
$\alpha = arctg \frac{x_{0}k }{v_{0} }$ - начальная фааа колебаний,
$a = \sqrt{ x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} }{k} \right )^{2}}$ - амплитуда колебаний.
В рассматриваемом примере начальные условия имеют вид:
gри $t = 0$ $\begin{cases} x_{0} = - \lambda_{ст} \\ v_{0} = 0 \end{cases}$
откуда $- \lambda_{ст} = C_{1}$, $0 = C_{2}k$
Поэтому $x = - \lambda_{ст} \cos kt$.
Или в числах $\lambda_{ст} = \frac{Q}{c} = 5 см; k = \sqrt{ \frac{c}{m} } = \sqrt{ \frac{20,980}{100} } = 14 \frac{1}{сек}$ и $x = - 5 \cos 14t$. То есть амплитуда колебаний груза на пружине равна $a = 5 см$, частота $k = 14 \frac{1}{сек}$ и период $T = \frac{2 \pi }{k} = 0,45 сек$.
Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что жесткость её $C = 20 г/см$ (Жесткоcтью $C$ называется сила, необходимая для удлинения пружины на единицу длины). В некоторый момент к нижнему концу В ведвформмрованной пружины подвешивает гирю веса $Q = 100 г$ и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду $a$, и период колебаний $T$ (рис.а).
Решение:
Рассмотрим некоторый момент времени $t$, когда груз движется вниз (рис.б) и пружина растянута. Вычертим силы $\vec{Q}$ и $\vec{F}_{упр}$, действующе на груз М в этот момент времени. Ось направим вниз.
Тогда можем записать $m \vec{w} = \vec{Q} + \vec{F}_{упр}$, или, в проекции на ось х
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = Q - F_{упр}$ (1)
Очевидно, что $F_{упр} = c \lambda$, (2)
где $\lambda$ - удлинение пружины в данный момент времени (см.рис.б). Легко сообразить, что груз М может висеть на пружине неподвижно (см.рис.в). Положение это называется положением статического равновесия. Удлинение пружины в этом случае называется статическим удлинением пружины - $\lambda_{ст}$. В положении отатического равновесия сила тяжести $\vec{Q}$ и $\vec{F}_{упр}$ - статическая сила упругости уравновешиваются (рис.в), то есть
$Q = F_{упр}^{ст}$ или $Q = c \lambda_{ст}$. (3)
Начало координат ($x = 0$) выбираем в положении статического равновесия. Тогда (рис.б)
$\lambda = \lambda_{ст} + x $ (4)
Формулы (2), (3), (4) позволяют уравнение (1) записать в виде:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = c \lambda_{ст} - с( \lambda_{ст} + x )$
или, после простейших преобразований;
$\frac{d^{2} x}{dt^{2} } + k^{2}x = 0$, (5)
где обозначили $k^{2} = \frac{c}{m}$.
Уравнение (5) есть дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебанийю Характеристическое уравнение
$r^{2} + k^{2} = 0$,
соответствующее уравнению (5), имеет корня $r{1,2} = \pm ki$. Поэтому
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$ (6)
Для того, чтобы удовлетворять начальным условиям, подсчитаем скорость точки
$v = \frac{dx}{dt} = - kC_{1} \sin kt + kC_{2} \cos kt$. (7)
Приравнивая $x$ - (14) и $v$ - (7) при $t = 0$ значениям $x_{0}$ и $v_{0}$, соответственно получаем $C_{1} = x_{0}$ и $C_{2} = \frac{v_{0} }{k}$.
Подставляем $C_{1}$ и $C_{2}$ в уравнение (6)
$x = x_{0} \cos kt + \frac{v_{0} }{k} \sin kt$ (8)
Уравнение (8) можно записать в другом виде.
Для этого обозначим $x_{0} = a \sin \alpha; \frac{v_{0} }{k} = a \cos \alpha$ и подставив в (8): $x = a \sin (kt + \alpha )$
Причем $k$ - частота колебаний груза М.
$\alpha = arctg \frac{x_{0}k }{v_{0} }$ - начальная фааа колебаний,
$a = \sqrt{ x_{0}^{2} + \left ( \frac{v_{0} }{k} \right )^{2}}$ - амплитуда колебаний.
В рассматриваемом примере начальные условия имеют вид:
gри $t = 0$ $\begin{cases} x_{0} = - \lambda_{ст} \\ v_{0} = 0 \end{cases}$
откуда $- \lambda_{ст} = C_{1}$, $0 = C_{2}k$
Поэтому $x = - \lambda_{ст} \cos kt$.
Или в числах $\lambda_{ст} = \frac{Q}{c} = 5 см; k = \sqrt{ \frac{c}{m} } = \sqrt{ \frac{20,980}{100} } = 14 \frac{1}{сек}$ и $x = - 5 \cos 14t$. То есть амплитуда колебаний груза на пружине равна $a = 5 см$, частота $k = 14 \frac{1}{сек}$ и период $T = \frac{2 \pi }{k} = 0,45 сек$.
