ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-16   
Найти уравнения движения материальной точки весом $P$, притягиваемой однородным горизонтальным переменным магнитным полем, если сила этого поля $F = A \sin \omega t$, где $A$ и $\omega$ - постоянные. Принять начальное положение точки за начало координат; ось x направить по горизонтали, а ось y - по вертикали вниз (рис.). Начальная скорость точки равна нулю (т.е. при $t = 0, x_{0} = 0, y_{0} = 0, v_{0x} = 0, v_{0y} = 0$).



Решение:


На точку M в некоторый момент времени $t$ действуют силы $\vec{P}$ и $\vec{F}$. Дифференциальные уравнения движения точки векторной форме и в проекциях на оси координат следующие: $m \vec{w} = \vec{P} + \vec{F}$

$\begin{cases} m \frac{dv_{x} }{dt} = F \\ m \frac{dv_{y} }{dt} = P \end{cases}$ или $\begin{cases} m \frac{dv_{x} }{dt} = A \sin \omega t \\ \end{cases}$ (1)

Решаем первое из уравнений (1)

$m \int dv_{x} = A \int \sin \omega t dt + C_{1}$
$ \frac{P}{g} v_{x} = - \frac{A}{ \omega } \cos \omega t + C_{1}$

Подставляем сюда $v_{x} = \frac{dx}{dt}$ и разделяем переменные

$\frac{P}{g} dx = - \frac{A }{ \omega } \cos \omega t dt + C_{1} dt$

После Интегрирования получаем:

$ \frac{P}{g}x = - \frac{A}{ \omega^{2}} \sin \omega t + C_{1}t + C_{2}$

Воспользовавшись начальными условиями (при $t = 0, x_{0} = 0, v_{0x} = 0$), определяем $C_{1}$ и $C_{2}$:

$C_{2} = 0; C_{1} = \frac{A}{ \omega }$

и окончательно

$x = - \frac{Ag}{P \omega^{2} } \sin \omega t + \frac{Ag}{P \omega }t$

Аналогично решаем второе из уравнений (1):

$dv_{y} = gdt; v_{y} = gt +C_{3}, v_{y} = \frac{dy}{dt}$,

поэтому $dy = gt dt + C_{3}dt$,

откуда $y = \frac{gt^{2} }{2} + C_{3}t + C_{4}$

Начальные условия (при $t = 0, y_{0} = 0, v_{0y} = 0$) позволяют получить

$0 = C_{4}$
$0 = C_{3}$

и окончательно $y = \frac{gt^{2} }{2}$

Таким образом, уравнения движения точки имеют вид

$x = \frac{Ag}{P \omega }(t - \frac{1}{ \omega } \sin \omega t); y = \frac{1}{2} gt^{2}$.