Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14595
2020-12-16 
На какую высоту $H$ и в какое время $T$ поднимется точка M весом $P$, брошенная вертикально вверх со скоростью $v_{0}$, если сопротивление воздуха $R$ может быть выражено формулой $R = k^{2}Pv^{2}$ (где $v$ - величина скорости точки).
Решение:
На точку М (см.рис.) в любой момент времени действуют сила веса $\vec{P}$ и оила сопротивления среда $\vec{R}$. Ось x направлена вверх. Проекция векторного уравнения движения $m \vec{w} = \vec{P} + \vec{R}$ на эту ось будет:
$m \frac{dv}{dt} = - P - R$
или $m \frac{dv}{dt} = - P(1 + k^{2}v^{2} )$ (1)
Далее решение разбивается на две части.
Определение $T$:
В уравнении (1) разделяем переменные и после упрощения и интегрирования
$\int_{v_{0} }^{0} \frac{dv}{1 + k^{2}v^{2} } = - g \int_{0}^{T} dt$
получаем
$T = \frac{1}{gk} arctg kv_{0}$
Определение $H$:
Умножим левую и правую части уравнения (1) на $dx$
$mdx \frac{dv}{dt} = - P(1 + k^{2}v^{2} ) dx$
Учитывая, что $\frac{dx}{dt} = v$, разделяем переменные и интегрируем обе части равенства. Учитывая, что при $x = 0,v = v_{0}$, при $x = H, v = 0$, имеем
$\int_{v_{0} }^{0} \frac{vdv}{g(1 + k^{2}v^{2} ) } = - \int_{0}^{H} dx$
Откуда определяем высоту максимального подъема
$H = \frac{1}{2k^{2}g} ln(1 + k^{2}v_{0}^{2} )$
Попытаемся теперь проанализировать проведенное решение.
В первой части задачи мы искали время $T$, в течение которого скорость изменяется в определенных пределах (у нас от $v_{0}$ до 0), то есть мы должны были найти зависимость $v$ от $t$
$v = v(t)$
Для этого нам достаточно было просто в дифференциальном уравнении движения вида $m \frac{dv}{dt} = f(v)$ разделить переменные и проинтегрировать обе части получившегоcя уравнения.
Во второй части задачи определяется расстояние, пройденное точкой, если известно изменение скорости, то есть определяется
$x = x(v)$
В таких случаях предлагается применить искусственный прием домножения левой и правой частей дифференциального уравнения вида
$m \frac{dv}{dt} = f(v)$
на $dx$. Это позволяет исключить из уравнения $t$, оставив лишь интересующую нас зависимость между $x$ и $v$:
$mdx \frac{dv}{dt} = f(v)dx$
или $m \frac{vdv}{f(v)} = dx$. Откуда
$m \int \frac{vdv}{f(v)} = \int dx + C$
$x = \phi(v) + C$
На какую высоту $H$ и в какое время $T$ поднимется точка M весом $P$, брошенная вертикально вверх со скоростью $v_{0}$, если сопротивление воздуха $R$ может быть выражено формулой $R = k^{2}Pv^{2}$ (где $v$ - величина скорости точки).
Решение:
На точку М (см.рис.) в любой момент времени действуют сила веса $\vec{P}$ и оила сопротивления среда $\vec{R}$. Ось x направлена вверх. Проекция векторного уравнения движения $m \vec{w} = \vec{P} + \vec{R}$ на эту ось будет:
$m \frac{dv}{dt} = - P - R$
или $m \frac{dv}{dt} = - P(1 + k^{2}v^{2} )$ (1)
Далее решение разбивается на две части.
Определение $T$:
В уравнении (1) разделяем переменные и после упрощения и интегрирования
$\int_{v_{0} }^{0} \frac{dv}{1 + k^{2}v^{2} } = - g \int_{0}^{T} dt$
получаем
$T = \frac{1}{gk} arctg kv_{0}$
Определение $H$:
Умножим левую и правую части уравнения (1) на $dx$
$mdx \frac{dv}{dt} = - P(1 + k^{2}v^{2} ) dx$
Учитывая, что $\frac{dx}{dt} = v$, разделяем переменные и интегрируем обе части равенства. Учитывая, что при $x = 0,v = v_{0}$, при $x = H, v = 0$, имеем
$\int_{v_{0} }^{0} \frac{vdv}{g(1 + k^{2}v^{2} ) } = - \int_{0}^{H} dx$
Откуда определяем высоту максимального подъема
$H = \frac{1}{2k^{2}g} ln(1 + k^{2}v_{0}^{2} )$
Попытаемся теперь проанализировать проведенное решение.
В первой части задачи мы искали время $T$, в течение которого скорость изменяется в определенных пределах (у нас от $v_{0}$ до 0), то есть мы должны были найти зависимость $v$ от $t$
$v = v(t)$
Для этого нам достаточно было просто в дифференциальном уравнении движения вида $m \frac{dv}{dt} = f(v)$ разделить переменные и проинтегрировать обе части получившегоcя уравнения.
Во второй части задачи определяется расстояние, пройденное точкой, если известно изменение скорости, то есть определяется
$x = x(v)$
В таких случаях предлагается применить искусственный прием домножения левой и правой частей дифференциального уравнения вида
$m \frac{dv}{dt} = f(v)$
на $dx$. Это позволяет исключить из уравнения $t$, оставив лишь интересующую нас зависимость между $x$ и $v$:
$mdx \frac{dv}{dt} = f(v)dx$
или $m \frac{vdv}{f(v)} = dx$. Откуда
$m \int \frac{vdv}{f(v)} = \int dx + C$
$x = \phi(v) + C$
