Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14593
2020-12-16 
Упругая нить закрепленная в точке А, проходит через неподвижное гладкое кольцо O; к свободному концу ее прикреплен шарик M с маccой $m$ граммов. Длина ненатянутой нити $AO = l$; для удлинения нити на 1 см нужно приложить силу, равную $k^{2}m$ дин. Вытянув нить по прямой AB так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость $\vec{v}_{0}$, перпендикулярную к прямой AB, то есть
при $t = 0$ $\begin{cases} x_{0} = 0 \\ y_{0} = l \\ v_{0x} = v_{0} \\ v_{0y} = 0 \end{cases}$ (4)
Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.
Решение:
Из cиcтемы тел выбираем точку M, движение которой необходимо рассмотреть, (рис. а).
Освобождаем ее от наложенной связи (упругой нити), заменив ее действие упругой силой $F = k^{2}m \cdot OM$ (дин);
Активных сил нет, так как по условию задачи весом $P$, по сравнению с $F$, можно пренебречь;
Записываем уравнение движения точки M в векторной форме и в проекциях на оси координат:
$m \vec{w} = \vec{F}$
или $m \frac{d^{2} \vec{r} }{dt^{2} } = - k^{2}m \vec{r}$, где $\vec{r} = \vec{OM}$.
Откуда имеем $m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - k^{2}mx, m \frac{d^{2}y }{dt^{2} } = - k^{2}my$
или, $\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = 0; \frac{d^{2}y }{dt^{2} } + k^{2}y = 0$.
Так как корни характеристического уравнения $\rho^{2} + k^{2} = 0$, соответствующего этим линейным дифференциальным однородным уравнениям второго порядка, равны $\rho_{1,2} = \pm ki$, то решение запишется
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$
$y = C_{3} \cos kt + C_{4} \sin kt$ (5)
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав выражения (5) по времени
$v_{x} = \dot{x} = C_{1}k \sin kt + C_{2} k \cos kt$;
$v_{y} = \dot{y} = - C_{3} k \sin kt + C_{4} k \cos kt$
Тогда условия (4) позволяют записать
$0 = C_{1} \cdot 1 + C_{2} \cdot 0; v_{0} = - C_{1}k \cdot 0 + C_{2} k \cdot 1$
$l = C_{3} \cdot 1 + C_{4} \cdot 9; 0 = 0 C_{3}k \cdot 0 + C_{4}k \cdot 1$.
Откуда $C_{1} = 0; C_{2} = \frac{v_{0} }{k}; C_{3} = l; C_{4} = 0$.
Подставляя полученные $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ в выражения (5), окончательно имеем:
$x = \frac{v_{0} }{k} \sin kt; y = l \cos kt$ (6)
Уравнение траектории найден, исключив параметр $t$ из уравнений движения (6):
$\frac{x^{2}k^{2} }{v_{0}^{2} } + \frac{y^{2} }{l^{2} } = 1$.
Траектория точки - эллипс с полуосями $l$ и $\frac{v_{0} }{k}$. (рис. б)
Упругая нить закрепленная в точке А, проходит через неподвижное гладкое кольцо O; к свободному концу ее прикреплен шарик M с маccой $m$ граммов. Длина ненатянутой нити $AO = l$; для удлинения нити на 1 см нужно приложить силу, равную $k^{2}m$ дин. Вытянув нить по прямой AB так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость $\vec{v}_{0}$, перпендикулярную к прямой AB, то есть
при $t = 0$ $\begin{cases} x_{0} = 0 \\ y_{0} = l \\ v_{0x} = v_{0} \\ v_{0y} = 0 \end{cases}$ (4)
Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.
Решение:
Из cиcтемы тел выбираем точку M, движение которой необходимо рассмотреть, (рис. а).
Освобождаем ее от наложенной связи (упругой нити), заменив ее действие упругой силой $F = k^{2}m \cdot OM$ (дин);
Активных сил нет, так как по условию задачи весом $P$, по сравнению с $F$, можно пренебречь;
Записываем уравнение движения точки M в векторной форме и в проекциях на оси координат:
$m \vec{w} = \vec{F}$
или $m \frac{d^{2} \vec{r} }{dt^{2} } = - k^{2}m \vec{r}$, где $\vec{r} = \vec{OM}$.
Откуда имеем $m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - k^{2}mx, m \frac{d^{2}y }{dt^{2} } = - k^{2}my$
или, $\frac{d^{2}x }{dt^{2} } + k^{2}x = 0; \frac{d^{2}y }{dt^{2} } + k^{2}y = 0$.
Так как корни характеристического уравнения $\rho^{2} + k^{2} = 0$, соответствующего этим линейным дифференциальным однородным уравнениям второго порядка, равны $\rho_{1,2} = \pm ki$, то решение запишется
$x = C_{1} \cos kt + C_{2} \sin kt$
$y = C_{3} \cos kt + C_{4} \sin kt$ (5)
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями, предварительно продифференцировав выражения (5) по времени
$v_{x} = \dot{x} = C_{1}k \sin kt + C_{2} k \cos kt$;
$v_{y} = \dot{y} = - C_{3} k \sin kt + C_{4} k \cos kt$
Тогда условия (4) позволяют записать
$0 = C_{1} \cdot 1 + C_{2} \cdot 0; v_{0} = - C_{1}k \cdot 0 + C_{2} k \cdot 1$
$l = C_{3} \cdot 1 + C_{4} \cdot 9; 0 = 0 C_{3}k \cdot 0 + C_{4}k \cdot 1$.
Откуда $C_{1} = 0; C_{2} = \frac{v_{0} }{k}; C_{3} = l; C_{4} = 0$.
Подставляя полученные $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ в выражения (5), окончательно имеем:
$x = \frac{v_{0} }{k} \sin kt; y = l \cos kt$ (6)
Уравнение траектории найден, исключив параметр $t$ из уравнений движения (6):
$\frac{x^{2}k^{2} }{v_{0}^{2} } + \frac{y^{2} }{l^{2} } = 1$.
Траектория точки - эллипс с полуосями $l$ и $\frac{v_{0} }{k}$. (рис. б)
