Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14589
2020-12-12 
Тонкая двояковыпуклая стеклянная линза имеет сферические преломляющие поверхности с одинаковым радиусом кривизны $R = 67 мм$ и расположена на границе раздела двух сред: воздуха и воды (рис.). Определите фокусные расстояния линзы. Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$, воды $n_{1} = 1,33$.
Решение:
Ход луча показан на рисунке. Обозначим абсолютный показатель преломления воздуха через $n_{2}$. Пусть на линзу падает луч, параллельный главной оптической оси и проходящий на расстоянии $h$ от нее. Будем рассматривать только параксиальные пучки, т. е. $h \ll R$. Поэтому все углы малы и синусы и тангенсы углов могут быть заменены самими углами. Кроме того, так как линза тонкая, будем считать, что луч при прохождении линзы заметно не смещается, т. е. выходит из линзы в точке, расположенной на расстоянии $h$ от оптической оси.
Угол падения на первую преломляющую поверхность $\alpha = \frac{h}{R}$, а угол, который составляет вышедший из линзы луч с главной оптической осью, $\gamma = \frac{h}{F}$, где $F$ - фокусное расстояние линзы. Угол преломления на передней преломляющей поверхности $\beta = \alpha \frac{n_{2} }{n}$. Из рисунка видно, что
$\beta + \alpha_{1} = 2 \alpha, \alpha_{1} = 2 \alpha - \beta$,
$\alpha_{1} = 2 \alpha - \alpha \frac{n_{2} }{n}$,
$\alpha_{1} = \frac{2n - n_{2} }{n} \alpha$.
Угол преломления на задней поверхности
$\beta_{1} = \frac{n}{n_{1} } \alpha_{1}, \beta_{1} = \frac{2n - n_{2} }{n_{1} } \alpha$;
так как $\gamma = \beta_{1} - \beta$, то $\gamma = (2n - n_{1} - n_{2}) \frac{ \alpha}{n_{1}}$. Объединяя полученные соотношения, получим:
$F_{1} = R \frac{n_{1} }{2n - n_{1} - n_{2} }$.
Выражение для заднего фокусного расстояния или для случая, когда лучи идут из среды с показателем преломления $n_{1}$, получим, заменив $n_{1}$ на $n_{2}$:
$F_{2} = R \frac{n_{2} }{2n - n_{1} - n_{2} }$.
Так как $n_{2} = 1$, то можно записать:
$F_{1} = R \frac{n_{1} }{2n - n_{1} - 1 }$,
$F_{2} = R \frac{1}{2n - n_{1} - 1 }$.
Ответ: $F_{1} \approx 13,3 см; F_{2} = 10 см$.
Тонкая двояковыпуклая стеклянная линза имеет сферические преломляющие поверхности с одинаковым радиусом кривизны $R = 67 мм$ и расположена на границе раздела двух сред: воздуха и воды (рис.). Определите фокусные расстояния линзы. Абсолютный показатель преломления стекла $n = 1,5$, воды $n_{1} = 1,33$.
Решение:
Ход луча показан на рисунке. Обозначим абсолютный показатель преломления воздуха через $n_{2}$. Пусть на линзу падает луч, параллельный главной оптической оси и проходящий на расстоянии $h$ от нее. Будем рассматривать только параксиальные пучки, т. е. $h \ll R$. Поэтому все углы малы и синусы и тангенсы углов могут быть заменены самими углами. Кроме того, так как линза тонкая, будем считать, что луч при прохождении линзы заметно не смещается, т. е. выходит из линзы в точке, расположенной на расстоянии $h$ от оптической оси.
Угол падения на первую преломляющую поверхность $\alpha = \frac{h}{R}$, а угол, который составляет вышедший из линзы луч с главной оптической осью, $\gamma = \frac{h}{F}$, где $F$ - фокусное расстояние линзы. Угол преломления на передней преломляющей поверхности $\beta = \alpha \frac{n_{2} }{n}$. Из рисунка видно, что
$\beta + \alpha_{1} = 2 \alpha, \alpha_{1} = 2 \alpha - \beta$,
$\alpha_{1} = 2 \alpha - \alpha \frac{n_{2} }{n}$,
$\alpha_{1} = \frac{2n - n_{2} }{n} \alpha$.
Угол преломления на задней поверхности
$\beta_{1} = \frac{n}{n_{1} } \alpha_{1}, \beta_{1} = \frac{2n - n_{2} }{n_{1} } \alpha$;
так как $\gamma = \beta_{1} - \beta$, то $\gamma = (2n - n_{1} - n_{2}) \frac{ \alpha}{n_{1}}$. Объединяя полученные соотношения, получим:
$F_{1} = R \frac{n_{1} }{2n - n_{1} - n_{2} }$.
Выражение для заднего фокусного расстояния или для случая, когда лучи идут из среды с показателем преломления $n_{1}$, получим, заменив $n_{1}$ на $n_{2}$:
$F_{2} = R \frac{n_{2} }{2n - n_{1} - n_{2} }$.
Так как $n_{2} = 1$, то можно записать:
$F_{1} = R \frac{n_{1} }{2n - n_{1} - 1 }$,
$F_{2} = R \frac{1}{2n - n_{1} - 1 }$.
Ответ: $F_{1} \approx 13,3 см; F_{2} = 10 см$.
