ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-12-12   
Два свинцовых тела массами $m_{1} =200 г$ и $m_{2} = 300 г$ движутся со скоростями $v_{1} = 4 м/с$ и $v_{2} = 3 м/с$ перпендикулярно друг другу. Определите, на сколько градусов $\Delta T$ повысится температура тел после абсолютно неупругого удара. Считайте, что все выделившееся тепло пошло на нагревание тел.


Решение:


Запишем закон сохранения импульса для неупругого удара в векторной форме:

$m_{1} \vec{v}_{1} + m_{2} \vec{v}_{2} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}$.

Из треугольника ОAВ (рис.), используя теорему Пифагора, запишем:

$(m_{1} + m_{2})v = \sqrt{(m_{1}v_{1})^{2} + (m_{2}v_{2})^{2}}$. (1)

Закон сохранения энергии для неупругого удара запишем в виде

$\frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} = \frac{(m_{1} + m_{2} )v^{2} }{2} + Q$, (2)

где $Q$ - энергия деформации, которая идет на нагревание:

$Q = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} - \frac{(m_{1} + m_{2} )v^{2} }{2}$, (3)

Подставим (1) и (3), получим:

$Q = \frac{m_{1}v_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2} }{2} - \frac{(m_{1} + m_{2} )}{2} \frac{(m_{1}v_{1} )^{2} + (m_{2}v_{2} )^{2} }{(m_{1} + m_{2} )^{2} }$.

Количество теплоты, идущей на нагревание, запишем: $Q = c (m_{1} + m_{2}) \Delta T$. Мы предположили, что начальные температуры тел одинаковы. Преобразуя полученные соотношения, получим:

$c(m_{1} + m_{2}) \Delta T = \frac{m_{1}m_{2}(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) }{2(m_{1} + m_{2} ) }$,

откуда $\Delta T = \frac{m_{1}m_{2}(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} ) }{2(m_{1} + m_{2} )^{2}c }$.

Проверим размерность:

$[ \Delta T ] = \frac{кг^{2} \cdot (м/с)^{2}}{кг^{2} \cdot Дж/(кг \cdot К)} = \frac{ (м/с)^{2} \cdot кг \cdot К}{кг \cdot м^{2}/с^{2}} = К$.

Ответ. $\Delta T = 2,4 \cdot 10^{-2} К$.