2016-11-25
Найти период колебаний жидкости в $U$-образном сосуде, постоянного сечения. Общая длина сосуда, занятого жидкостью $l$.
Решение:
За начало отсчета выбираем уровень жидкости в состоянии равновесия и будем следить, для определенности, за уровнем поверхности жидкости в левом колене сосуда в процессе колебаний.
Применим энергетический подход, выбирая в качестве нулевого уровня потенциальной энергии равновесное положение ясидкости.
Запишем полную механическую энергию системы (жидкости в сосуде):
$E = E_{К} + E_{П}$, (1)
где $E_{K} = \frac{mv^{2}}{2}$ (полагаем, что модуль скорости жидкости одинаков во всех частях сосуда), а чтобы подсчитать потенциальную энергию $E_{П}$, заметим, что состояние жидкости на рисунке отличается от равновесного перемещением объема $Sx$ из правого колена сосуда в левый, находим:
$E_{П} = S x \rho g \cdot x = S \rho x^{2} g$. (2)
Учитывая, что
$Sl \cdot \rho = m$, (3)
из (1) и (2) находим:
$v^{2} + \frac{2g}{l} x^{2} = \frac{2E}{S \rho} = const$, (4)
то есть имеем уравнение стандартного вида при $\frac{2g}{l} = \omega^{2}$.
Таким образом,
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{2g}}$.