Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14569
2020-12-12 
В двух частях цилиндра, разделенных поршнем А, находится воздух разной массы $m_{1}$ и $m_{2}$ при одинаковой температуре (рис.). Правый конец цилиндра закрыт подвижным поршнем В. Определите расстояние $a$, на которое сместится от первоначального положения поршень А после установления равновесия, если сместить поршень В на расстояние $b = 4 см$. При равновесии в цилиндре устанавливается первоначальная температура. Отношение масс газа $n = \frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
Решение:
I способ. Изменение объемов в обеих частях цилиндра показано на рисунке. Температура газа после установления равновесия не изменяется, следовательно, к газу в каждой части цилиндра можно применить закон изотермического процесса:
$p_{0}V_{1} = p(V_{1} + \Delta V_{1} ), p_{0}V_{2} = p(V_{2} - \Delta V_{2})$,
где $p_{0}$ и $p$ - начальное и конечное давление, $V_{1}$ и $V_{2}$ - начальные объемы газа, $\Delta V_{1}, \Delta V_{2}$ - изменение объема при смещении поршней. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что $\frac{V_{1} }{V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$, или $V_{2} = \frac{m_{2} }{m_{1} } V_{1}$. Подставим $V_{2}$ в закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс) и, разделив уравнения, получим $\frac{ \Delta V_{1} }{ \Delta V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$. Кроме того, $\Delta V_{1} + \Delta V_{2} = \Delta V$, где $\Delta V = bS, \Delta V_{1} = aS, S$ - площадь поршня. Поэтому $aS + aS \frac{m_{2} }{m_{1} } = bS$, откуда $a = \frac{bm_{1} }{m_{1} + m_{2} }, a = b \frac{1}{1 + \frac{1}{3} }, a = \frac{3}{4}b$.
Задачу можно решить и другим способом.
II способ. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждой части до и после перемещения поршня. Учтем, что в левой части цилиндра объем увеличивается на $aS$, а в правой части увеличивается на $bS$ и уменьшается на $aS$. Тогда
$\begin{cases} pV_{1} = \nu_{1}RT, & (1) \\ p_{1}(V_{1} + aS ) = \nu_{1}RT; & (2)(для \: левой \: части) \end{cases}$, (1)
$\begin{cases} pV_{2} = \nu_{2}RT, & (1) \\ p_{2}(V_{2} + bS - aS ) = \nu_{2}RT; & (2)(для \: правой \: части) \end{cases}$, (1)
Газы в обеих частях цилиндра одинаковые, следовательно, $\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } = n, n = 3$, откуда $\nu_{1} = n \nu_{2}$. Сравнивая (1) и (3), получим $V_{1} = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } V_{2}, V_{1} = nV_{2}$. При этом мы учитывали, что движение поршня прекращается, когда давления в обеих частях цилиндра уравниваются. Заменим в (4) $\nu_{2} = \frac{ \nu_{1} }{n}$ и подставив в (2), получим: $p_{1} ( V_{2} + bS - aS ) = \frac{1}{n} p_{1} (V_{1} + aS)$, или $nS (b - a) = Sa$, откуда $a = \frac{nb}{n + 1}$. Окончательно $a = \frac{b}{1 + \frac{1}{n}}; a = \frac{b}{ 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} }}$.
Ответ: $a = 3 см$.
В двух частях цилиндра, разделенных поршнем А, находится воздух разной массы $m_{1}$ и $m_{2}$ при одинаковой температуре (рис.). Правый конец цилиндра закрыт подвижным поршнем В. Определите расстояние $a$, на которое сместится от первоначального положения поршень А после установления равновесия, если сместить поршень В на расстояние $b = 4 см$. При равновесии в цилиндре устанавливается первоначальная температура. Отношение масс газа $n = \frac{m_{1} }{m_{2} } = 3$.
Решение:
I способ. Изменение объемов в обеих частях цилиндра показано на рисунке. Температура газа после установления равновесия не изменяется, следовательно, к газу в каждой части цилиндра можно применить закон изотермического процесса:
$p_{0}V_{1} = p(V_{1} + \Delta V_{1} ), p_{0}V_{2} = p(V_{2} - \Delta V_{2})$,
где $p_{0}$ и $p$ - начальное и конечное давление, $V_{1}$ и $V_{2}$ - начальные объемы газа, $\Delta V_{1}, \Delta V_{2}$ - изменение объема при смещении поршней. Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что $\frac{V_{1} }{V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$, или $V_{2} = \frac{m_{2} }{m_{1} } V_{1}$. Подставим $V_{2}$ в закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс) и, разделив уравнения, получим $\frac{ \Delta V_{1} }{ \Delta V_{2} } = \frac{m_{1} }{m_{2} }$. Кроме того, $\Delta V_{1} + \Delta V_{2} = \Delta V$, где $\Delta V = bS, \Delta V_{1} = aS, S$ - площадь поршня. Поэтому $aS + aS \frac{m_{2} }{m_{1} } = bS$, откуда $a = \frac{bm_{1} }{m_{1} + m_{2} }, a = b \frac{1}{1 + \frac{1}{3} }, a = \frac{3}{4}b$.
Задачу можно решить и другим способом.
II способ. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждой части до и после перемещения поршня. Учтем, что в левой части цилиндра объем увеличивается на $aS$, а в правой части увеличивается на $bS$ и уменьшается на $aS$. Тогда
$\begin{cases} pV_{1} = \nu_{1}RT, & (1) \\ p_{1}(V_{1} + aS ) = \nu_{1}RT; & (2)(для \: левой \: части) \end{cases}$, (1)
$\begin{cases} pV_{2} = \nu_{2}RT, & (1) \\ p_{2}(V_{2} + bS - aS ) = \nu_{2}RT; & (2)(для \: правой \: части) \end{cases}$, (1)
Газы в обеих частях цилиндра одинаковые, следовательно, $\frac{m_{1} }{m_{2} } = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } = n, n = 3$, откуда $\nu_{1} = n \nu_{2}$. Сравнивая (1) и (3), получим $V_{1} = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } V_{2}, V_{1} = nV_{2}$. При этом мы учитывали, что движение поршня прекращается, когда давления в обеих частях цилиндра уравниваются. Заменим в (4) $\nu_{2} = \frac{ \nu_{1} }{n}$ и подставив в (2), получим: $p_{1} ( V_{2} + bS - aS ) = \frac{1}{n} p_{1} (V_{1} + aS)$, или $nS (b - a) = Sa$, откуда $a = \frac{nb}{n + 1}$. Окончательно $a = \frac{b}{1 + \frac{1}{n}}; a = \frac{b}{ 1 + \frac{m_{2} }{m_{1} }}$.
Ответ: $a = 3 см$.
