2020-12-12
Невесомый клин установлен на ребро на горизонтальной плоскости так, что его основание параллельно этой плоскости (рис.). На основание клина ставят два тела массой $m_{1} = 1 кг$ и массой $m_{2} = 2 кг$. Телам одновременно сообщают скорости $v_{1}$ и $v_{2}$, направленные навстречу друг другу; равновесие клина при этом не нарушается. Коэффициент трения между телами и поверхностью клина одинаковый и равен $\mu = 0,1$. Определите силу, с которой надо подействовать на одно из тел, чтобы при их движении система оставалась в равновесии. Силу считайте постоянной и направленной вдоль движения. Определите, при каком соотношении между начальными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ это равновесие возможно.
Решение:
Силы, действующие со стороны тел массами $m_{1}$ и $m_{2}$ на клин, показаны на рисунке. Силы давления $\vec{N}_{1}$ и $\vec{N}_{2}$, равные по модулю силам реакции опоры клина на каждое тело, определим из условия равновесия грузов. На грузы в вертикальном направлении действуют только силы тяжести и силы реакции опоры, поэтому
$\begin{cases} N_{1} = m_{1}g, \\ N_{2} = m_{2}g. \end{cases}$ (1)
Силы трения определим как максимальные силы трения покоя, так как сразу же начинается скольжение: $F_{тр.1} = \mu_{1}m_{1}g, F_{тр.2} = \mu_{2}m_{2}g$. В начальный момент времени система находится в равновесии, следовательно, сумма моментов сил относительно оси, проходящей через ребро, на котором стоит клин (точка О на рисунке), равна нулю:
$N_{1}x_{01} + F_{тр.2}h - N_{2}x_{02} - F_{тр.1}h = 0$, (2)
где $h$ - высота клина - плечо для сил трения, $x_{01}$ и $x_{02}$ - плечи для сил давления грузов на клин в начальный момент времени. В любой момент времени, чтобы клин не опрокинулся, должно также выполняться условие равновесия для моментов всех сил относительно этой же оси. Таким образом,
$N_{1}x_{1} + F_{тр.2}h - N_{2}x_{2} - F_{тр.1}h = 0$, (3)
где $x_{1}$ и $x_{2}$ - плечи для сил $N_{1}$ и $N_{2}$ в любой момент времени. Вычитая (3) из (2), используя также систему (1), получим:
$m_{1}gs_{1} = m_{2}gs_{2}$, (4)
или $\frac{ m_{1}}{ m_{2}} = \frac{s_{2}}{s_{1}}$, где $s_{1}$ и $s_{2}$ - пути, пройденные телами к моменту времени $t$,
$s_{1} = x_{01} - x_{1}$,
$s_{2} = x_{02} - x_{2}$,
с другой стороны,
$s_{1} = v_{1}t - \frac{a_{1}t^{2}}{2}$, (5)
$s_{2} = v_{2}t - \frac{a_{2}t^{2}}{2}$. (6)
Подставляя (5) и (6) в (4), получим:
$m_{1}v_{1} \left ( v_{1} - \frac{a_{1}t }{2} \right ) = m_{2} \left ( v_{2} - \frac{a_{2}t }{2} \right )$, (7)
откуда
$m_{1}v_{1} - m_{2}v_{2} = (m_{1}a_{1} - m_{2}a_{2}) \frac{t}{2}$. (8)
Это уравнение дает условие равновесия системы при движении тел для данного момента времени $t$. Для того чтобы условие (8) выполнялось в любой момент времени, необходимо, чтобы его правая часть равнялась нулю, т. е.
$m_{1}a_{1} = m_{2}a_{2}$. (9)
При отсутствии дополнительной силы $F$ ускорения $a_{10} = a_{20} = \mu g$. Чтобы выполнялось равенство (9), необходимо либо увеличить ускорение тела с малой массой, подействовав на него дополнительной силой $F_{1}$, либо уменьшить ускорение тела с большей массой, приложив к нему силу $F_{2}$. В нашем случае $m_{1} < m_{2}$ и соотношение (9) удовлетворяется тогда, когда
$m_{1} \left ( \mu g + \frac{F_{1} }{m_{1} } \right ) = m_{2} \mu g$, (10)
или
$m_{1} \mu g = m_{2} \left ( \mu g - \frac{F_{2} }{m_{2} } \right )$ (11)
Из соотношений (10) и (11) получим значения сил:
$F_{1} = (m_{2} - m_{1}) \mu g$. (12)
$F_{2} = (m_{2} - m_{1}) \mu g$. (13)
Для выполнения условия (9) правая часть соотношения (8) обращается в нуль, поэтому
$\frac{v_{1} }{v_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} }$. (14)
Из (12) и (13) видно, что для выполнения условия задачи необходимо или тормозить тело массой $m_{2}$, или разгонять тело массой $m_{1}$ с силой $F = (m_{2} - m_{1}) \mu g$.
Ответ: $\frac{v_{1} }{ v_{2} } = \frac{m_{2} }{m_{1} } = 2; F = ( m_{2} - m_{1}) \mu g, F = 0,98Н$.