2020-12-12
На одной из граней куба массой $M = 1 кг$ находится тело массой $m = 100 г$ (рис.). Ребро куба $a = 20 см$. Тело расположено на расстоянии $l = 5 см$ от одного из ребер куба. Определите угол $\alpha$ между гранью куба и горизонтальной поверхностью, при котором система будет находиться в равновесии. Определите, при каких коэффициентах трения между телом и гранью куба равновесие возможно. Определите характер равновесия. Размерами тела по сравнению с размерами куба можно пренебречь.
Решение:
Силы, действующие на куб и на тело, показаны на рисунке: $\vec{F}_{д}$ - сила давления тела на куб, $\vec{F}_{тр}$ - сила трения, действующая на куб. Не забывайте о третьем законе Ньютона: сила действия равна силе противодействия, т. е. $\vec{F}_{тр}^{ \prime } = - \vec{F}_{тр}, \vec{F}_{д} = - \vec{N}$. Для равновесия куба необходимо, чтобы сумма моментов сил относительно оси, проходящей через точку, например О, была равна нулю:
$F_{тр}a - F_{д}l - Mga \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos \left ( \frac{ \pi }{4} + \alpha \right ) = 0$. (1)
Из условия равновесия тела на клине (проекция сил на ось OY равна нулю) определим силу реакции опоры: $N = F_{д} = mg \cos \alpha$. Проекция сил на ось ОХ дает условие
$mg \sin \alpha \leq \mu mg \cos \alpha$. (2)
Подставим в (1) эти условия:
$amg \sin \alpha - lmg \cos \alpha - Mga \frac{ \sqrt{2} }{2} ( \cos \alpha - \sin \alpha ) \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$. (3)
Разделим уравнение (3) на $\cos \alpha$, получим:
$mga tg \alpha - mgl - \frac{Mga}{2} + \frac{Mga}{2} tg \alpha = 0$.
Выразим $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{2ml + Ma}{2ma + Ma}$,
тогда
$\alpha = arctg \frac{2ml + Ma}{(2m + M)a}$.
Решая неравенство (2), получим $\mu \geq tg \alpha$ или
$\mu \geq \frac{2ml + Ma}{(2m + M)a}$.
Равновесие неустойчивое, так как при любом изменении угла $\alpha$ или расстояния $l$ возникает момент сил, стремящийся увести систему еще дальше от положения равновесия.
Ответ: $\alpha \approx 41^{ \circ}; \mu \approx 0,875$. Равновесие неустойчивое.