2020-12-12
Определите длину $L$ доски, которая может быть забита между двумя вертикальными стенками (рис.). Расстояние между стенками $l = 3 м$, коэффициент трения между доской и стеной $\mu = 0,2$. Доску рассматривайте как недеформирующуюся, массой доски можно пренебречь.
Решение:
Рассмотрим силы, действующие на доску со стороны стенок (рис.). Толщиной доски пренебрегаем. Направление сил трения выбрано из предположения, что конец А доски «стремится выскочить» из ямы, а конец В, наоборот, упасть в нее. Под ямой подразумевается пространство между вертикальными стенками.
$\vec{N}$ и $\vec{N}_{1}$ - силы реакции стенок.
$\vec{F}_{тр}$ и $\vec{F}_{тр1}$ - силы трения.
Запишем условие равновесия: алгебраическая сумма моментов сил относительно оси, проходящей через точку А, равна нулю:
$NL \sin \alpha - F_{тр} L \cos \alpha = 0$.
Так как $F_{тр} \leq \mu N$, а $\frac{F_{тр}}{N} = tg \alpha$, то $tg \alpha \leq \mu$. Окончательно
$L = \frac{l}{ \cos \alpha}; L = l \sqrt{1 + tg^{2} \alpha }, L \leq l \sqrt{1 + \mu^{2} }$.
Условие равновесия можно рассматривать и относительно оси, проходящей через точку В. Проверьте, что ответ будет такой же.
Ответ: $L \leq 3,06 м$.