Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14562
2020-12-12 
Шарик массой $m = 20 г$ сталкивается с кубом массой $M = 400 г$, отражается от него, а затем отражается от горизонтальной плиты (рис.). Куб до столкновения покоился. Скорость шарика перед ударом о куб $v_{0} = 2 м/с$ и направлена под углом $\alpha =60^{ \circ}$ к поверхности куба. Считайте удары шарика с кубом и плитой абсолютно упругими. Определите расстояние, пройденное кубом к тому времени, когда шарик снова ударится о плиту. Трением и размерами куба, а также временем до удара в точке А можно пренебречь.
Решение:
Скорости шарика до и после удара показаны на рисунке. Изменение импульса шарика происходит только под действием силы реакции куба, поэтому составляющие импульса по оси ОY сохраняются (проекция импульса на ось ОY до удара равна проекции на эту же ось после удара):
$v_{0} \cos \alpha = v \cos \beta$. (1)
Импульс всей системы шарик - куб сохраняется, поэтому в проекции на ось ОХ получим:
$mv_{0} \sin \alpha = Mu - mv \sin \beta$. (2)
Закон сохранения механической энергии для системы шарик - куб запишем в следующем виде:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$. (3)
Введем обозначение $n = \frac{M}{m}$, тогда выражение (3) можно записать так: $v_{0}^{2} - v^{2} = nu^{2}$. Запишем $v_{0}$ и $v$ в следующем виде:
$v_{0} = v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha, v^{2} = v^{2} \sin^{2} \beta + v^{2} \cos^{2} \beta$;
используя формулу разности квадратов, получим:
$(v_{0} \sin \alpha - v \sin \beta )(v_{0} \sin \alpha + v \sin \beta + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha - v^{2} \cos^{2} \beta ) = nu^{2}$,
или $v_{0} \sin \alpha - v \sin \beta = u$, откуда, используя (2), получим $u = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{n + 1}$.
Путь, пройденный кубом, $s = ut$, где время определяется из уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту:
$l = \frac{2v \cos \beta}{g} = \frac{2v_{0} \cos \alpha }{g}$.
Окончательно находим: $s = \frac{2v_{0} \sin \alpha 2 \cos \alpha }{ (n + 1)g }$, или $s = \frac{2m}{m + M} \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha$.
Ответ: $s \approx 3,4 см$.
Шарик массой $m = 20 г$ сталкивается с кубом массой $M = 400 г$, отражается от него, а затем отражается от горизонтальной плиты (рис.). Куб до столкновения покоился. Скорость шарика перед ударом о куб $v_{0} = 2 м/с$ и направлена под углом $\alpha =60^{ \circ}$ к поверхности куба. Считайте удары шарика с кубом и плитой абсолютно упругими. Определите расстояние, пройденное кубом к тому времени, когда шарик снова ударится о плиту. Трением и размерами куба, а также временем до удара в точке А можно пренебречь.
Решение:
Скорости шарика до и после удара показаны на рисунке. Изменение импульса шарика происходит только под действием силы реакции куба, поэтому составляющие импульса по оси ОY сохраняются (проекция импульса на ось ОY до удара равна проекции на эту же ось после удара):
$v_{0} \cos \alpha = v \cos \beta$. (1)
Импульс всей системы шарик - куб сохраняется, поэтому в проекции на ось ОХ получим:
$mv_{0} \sin \alpha = Mu - mv \sin \beta$. (2)
Закон сохранения механической энергии для системы шарик - куб запишем в следующем виде:
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$. (3)
Введем обозначение $n = \frac{M}{m}$, тогда выражение (3) можно записать так: $v_{0}^{2} - v^{2} = nu^{2}$. Запишем $v_{0}$ и $v$ в следующем виде:
$v_{0} = v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha, v^{2} = v^{2} \sin^{2} \beta + v^{2} \cos^{2} \beta$;
используя формулу разности квадратов, получим:
$(v_{0} \sin \alpha - v \sin \beta )(v_{0} \sin \alpha + v \sin \beta + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha - v^{2} \cos^{2} \beta ) = nu^{2}$,
или $v_{0} \sin \alpha - v \sin \beta = u$, откуда, используя (2), получим $u = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{n + 1}$.
Путь, пройденный кубом, $s = ut$, где время определяется из уравнения движения тела, брошенного под углом к горизонту:
$l = \frac{2v \cos \beta}{g} = \frac{2v_{0} \cos \alpha }{g}$.
Окончательно находим: $s = \frac{2v_{0} \sin \alpha 2 \cos \alpha }{ (n + 1)g }$, или $s = \frac{2m}{m + M} \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha$.
Ответ: $s \approx 3,4 см$.
