Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14560
2020-12-12 
Куб массой $M = 1,05 кг$ покоится на горизонтальном столе, по которому он может перемещаться без трения. Горизонтально движущийся со скоростью $v_{0} = 10 м/с$ шарик массой $m = 0,35 кг$ сталкивается с кубом (на рисунке показан вид сверху). Определите угол $\beta$ между скоростью шарика после абсолютно упругого удара и нормалью к поверхности куба. Определите скорость и куба и скорость о шарика после столкновения. Вектор начальной скорости составляет с нормалью к поверхности куба угол $\alpha =45^{ \circ}$.
Решение:
Рассмотрим законы сохранения импульса и энергии для абсолютно упругого удара:
$m \vec{v}_{0} = m \vec{v} + M \vec{u}$,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$.
Рассмотрим проекции импульсов на направления вдоль ребра куба и на перпендикулярное направление. Куб может двигаться только вдоль оси ОХ (рис.).
Запишем:
$\begin{cases} v_{0} \cos \alpha = au - v \cos \beta, & (1) \\ v_{0} \sin \alpha = v \sin \beta, & (2) \\ v_{0}^{2} = v^{2} + au^{2}, (3) \end{cases}$
где $a = \frac{M}{m}$. Из (1) и (2) получим:
$\cos \beta = \frac{au - v_{0} \cos \alpha }{v}, \sin \beta = \frac{v_{0} }{v} \sin \alpha$. (4)
Возведем обе части получившихся выражений в квадрат, сложим и приравняем единице (основное тригонометрическое тождество):
$1 = \frac{1}{v^{2} } ((au)^{2} - 2auv_{0} \cos \alpha + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha )$,
после упрощения имеем $au - 2v_{0} \cos \alpha + u = 0$, откуда
$u = \frac{2v_{0} \cos \alpha}{1 + a}$. (5)
Подставим полученное выражение в (3), используя (5), получим:
$v^{2} = v_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{a4 \cos^{2} \alpha }{(1+a)^{2} } \right )$. (6)
Из (2) и (6) получим выражение для $\sin \beta$:
$\sin \beta = \frac{ \sin \alpha }{ \sqrt{1 - \frac{4a \cos^{2} \alpha }{ (1 + a)^{2} } } }$.
Ответ: $u = 3,5 м/с, v = 7,9 м/с, \beta \approx 63,5^{ \circ}$.
Куб массой $M = 1,05 кг$ покоится на горизонтальном столе, по которому он может перемещаться без трения. Горизонтально движущийся со скоростью $v_{0} = 10 м/с$ шарик массой $m = 0,35 кг$ сталкивается с кубом (на рисунке показан вид сверху). Определите угол $\beta$ между скоростью шарика после абсолютно упругого удара и нормалью к поверхности куба. Определите скорость и куба и скорость о шарика после столкновения. Вектор начальной скорости составляет с нормалью к поверхности куба угол $\alpha =45^{ \circ}$.
Решение:
Рассмотрим законы сохранения импульса и энергии для абсолютно упругого удара:
$m \vec{v}_{0} = m \vec{v} + M \vec{u}$,
$\frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + \frac{Mu^{2} }{2}$.
Рассмотрим проекции импульсов на направления вдоль ребра куба и на перпендикулярное направление. Куб может двигаться только вдоль оси ОХ (рис.).
Запишем:
$\begin{cases} v_{0} \cos \alpha = au - v \cos \beta, & (1) \\ v_{0} \sin \alpha = v \sin \beta, & (2) \\ v_{0}^{2} = v^{2} + au^{2}, (3) \end{cases}$
где $a = \frac{M}{m}$. Из (1) и (2) получим:
$\cos \beta = \frac{au - v_{0} \cos \alpha }{v}, \sin \beta = \frac{v_{0} }{v} \sin \alpha$. (4)
Возведем обе части получившихся выражений в квадрат, сложим и приравняем единице (основное тригонометрическое тождество):
$1 = \frac{1}{v^{2} } ((au)^{2} - 2auv_{0} \cos \alpha + v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha )$,
после упрощения имеем $au - 2v_{0} \cos \alpha + u = 0$, откуда
$u = \frac{2v_{0} \cos \alpha}{1 + a}$. (5)
Подставим полученное выражение в (3), используя (5), получим:
$v^{2} = v_{0}^{2} \left ( 1 - \frac{a4 \cos^{2} \alpha }{(1+a)^{2} } \right )$. (6)
Из (2) и (6) получим выражение для $\sin \beta$:
$\sin \beta = \frac{ \sin \alpha }{ \sqrt{1 - \frac{4a \cos^{2} \alpha }{ (1 + a)^{2} } } }$.
Ответ: $u = 3,5 м/с, v = 7,9 м/с, \beta \approx 63,5^{ \circ}$.
