Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14558
2020-12-12 
Два груза связаны невесомой и нерастяжимой нитью длиной $l = 1 м$. Масса грузов одинакова: $m = 100 г$. Грузы и нить свободно падают в вертикальной плоскости, при этом нить расположена горизонтально и не провисает. В некоторый момент времени середина нити зацепляется за гвоздь. Определите скорость в момент зацепления, если известно, что при дальнейшем движении нить не разрывается. Материал нити способен выдерживать максимальную нагрузку $T_{max} = 25 Н$. Размерами грузов можно пренебречь.
Решение:
До зацепления связанные грузы двигаются в поле тяжести Земли и перед зацеплением приобретают скорость $v_{0}$, которую надо определить. Рассмотрим движение грузов после того, как нить зацепилась за гвоздь. Это - движение каждого груза по окружности радиусом $R = \frac{l}{2}$. Максимальное натяжение нить испытывает в момент времени, предшествующий столкновению. Рассматривая грузы как материальные точки (г. е. пренебрегая их размерами), будем считать, что перед столкновением нити вертикальны. Мы пренебрегаем углом между нитями. Сила натяжения нити равна силе реакции нити, но противоположно направлена (третий закон Ньютона). Мы рассмотрим движение только одного груза из-за симметрии расположения грузов и их движения. Силы, действующие на груз, показаны на рисунке. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$T - mg = \frac{mv^{2} }{ \frac{l}{2} }$, (1)
где $v$ - скорость груза перед столкновением. По закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{mgl}{2}$. (2)
В начальный момент времени у каждого груза кинетическая энергия $\frac{mv_{0}^{2} }{2}$ и потенциальная $\frac{mgl}{2}$, если принять за нулевой уровень потенциальной энергии уровень, где грузы столкнутся. Из уравнений (1) и (2) определим силу натяжения нити:
$T = 3mg + \frac{2mv_{0}^{2}}{l}$.
Нить не разорвется, если $T \leq T_{max}$. Таким образом,
$3mg + \frac{2mv_{0}^{2} }{l} \leq T_{max}$.
Отсюда находим искомую скорость: $v_{0} \leq \sqrt{ \frac{l}{2m} (T_{max} - 3mg)}$.
Ответ: $v_{0} \leq 10,5 м/с$.
Два груза связаны невесомой и нерастяжимой нитью длиной $l = 1 м$. Масса грузов одинакова: $m = 100 г$. Грузы и нить свободно падают в вертикальной плоскости, при этом нить расположена горизонтально и не провисает. В некоторый момент времени середина нити зацепляется за гвоздь. Определите скорость в момент зацепления, если известно, что при дальнейшем движении нить не разрывается. Материал нити способен выдерживать максимальную нагрузку $T_{max} = 25 Н$. Размерами грузов можно пренебречь.
Решение:
До зацепления связанные грузы двигаются в поле тяжести Земли и перед зацеплением приобретают скорость $v_{0}$, которую надо определить. Рассмотрим движение грузов после того, как нить зацепилась за гвоздь. Это - движение каждого груза по окружности радиусом $R = \frac{l}{2}$. Максимальное натяжение нить испытывает в момент времени, предшествующий столкновению. Рассматривая грузы как материальные точки (г. е. пренебрегая их размерами), будем считать, что перед столкновением нити вертикальны. Мы пренебрегаем углом между нитями. Сила натяжения нити равна силе реакции нити, но противоположно направлена (третий закон Ньютона). Мы рассмотрим движение только одного груза из-за симметрии расположения грузов и их движения. Силы, действующие на груз, показаны на рисунке. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось:
$T - mg = \frac{mv^{2} }{ \frac{l}{2} }$, (1)
где $v$ - скорость груза перед столкновением. По закону сохранения энергии
$\frac{mv^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} + \frac{mgl}{2}$. (2)
В начальный момент времени у каждого груза кинетическая энергия $\frac{mv_{0}^{2} }{2}$ и потенциальная $\frac{mgl}{2}$, если принять за нулевой уровень потенциальной энергии уровень, где грузы столкнутся. Из уравнений (1) и (2) определим силу натяжения нити:
$T = 3mg + \frac{2mv_{0}^{2}}{l}$.
Нить не разорвется, если $T \leq T_{max}$. Таким образом,
$3mg + \frac{2mv_{0}^{2} }{l} \leq T_{max}$.
Отсюда находим искомую скорость: $v_{0} \leq \sqrt{ \frac{l}{2m} (T_{max} - 3mg)}$.
Ответ: $v_{0} \leq 10,5 м/с$.
