Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14557
2020-12-12 
Проволочное кольцо радиусом $R = 20 см$ вращается вокруг вертикальной оси в горизонтальной плоскости. Ось проходит через центр кольца. Определите угловую скорость вращения $\omega$, при которой произойдет разрыв кольца. Предел прочности на разрыв материала кольца $\sigma = 10^{8} Н/м^{2}$, плотность материала $\rho = 10^{4} кг/м^{3}$. Диаметр проволоки много меньше радиуса кольца.
Решение:
Рассмотрим малый элемент длины кольца $\Delta l$ (рис.). Этот элемент растягивается силами $\vec{T}$. Сумма проекций этих сил на направление по радиусу к центру создает центростремительное ускорение. Угол $2 \alpha$ мал, следовательно, можно считать $\sin \alpha \approx \alpha$. Тогда $\Delta l = R 2 \alpha$. Центростремительное ускорение равно $a_{ц} = \omega^{2}R$.
Уравнение второго закона Ньютона: $2T \alpha = \Delta m \omega^{2} R$, где $\Delta m = \frac{m}{2 \pi R} \Delta l = \frac{m}{2 \pi } 2 \alpha$ - масса элемента $\Delta l$. Тогда $\omega^{2} = 2 \pi \frac{T}{mR}$.
Разрыв кольца произойдет, когда с увеличением углового ускорения сила натяжения достигает максимального значения, т. е. $T_{max} = \frac{ \pi d^{2} }{4} \sigma$, где $d$ - диаметр проволоки.
Масса кольца $m = 2 \pi R \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho$.
Следовательно, $\omega^{2} = 2 \pi \frac{ \pi d^{2} \sigma 4 \rho }{ 4R2 \pi R \pi d^{2} }$, откуда
$\omega^{2} = \frac{ \sigma }{ \rho R^{2} }$, или $\omega = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho } }$.
Ответ: $\omega = 500 \frac{1}{с}$.
Проволочное кольцо радиусом $R = 20 см$ вращается вокруг вертикальной оси в горизонтальной плоскости. Ось проходит через центр кольца. Определите угловую скорость вращения $\omega$, при которой произойдет разрыв кольца. Предел прочности на разрыв материала кольца $\sigma = 10^{8} Н/м^{2}$, плотность материала $\rho = 10^{4} кг/м^{3}$. Диаметр проволоки много меньше радиуса кольца.
Решение:
Рассмотрим малый элемент длины кольца $\Delta l$ (рис.). Этот элемент растягивается силами $\vec{T}$. Сумма проекций этих сил на направление по радиусу к центру создает центростремительное ускорение. Угол $2 \alpha$ мал, следовательно, можно считать $\sin \alpha \approx \alpha$. Тогда $\Delta l = R 2 \alpha$. Центростремительное ускорение равно $a_{ц} = \omega^{2}R$.
Уравнение второго закона Ньютона: $2T \alpha = \Delta m \omega^{2} R$, где $\Delta m = \frac{m}{2 \pi R} \Delta l = \frac{m}{2 \pi } 2 \alpha$ - масса элемента $\Delta l$. Тогда $\omega^{2} = 2 \pi \frac{T}{mR}$.
Разрыв кольца произойдет, когда с увеличением углового ускорения сила натяжения достигает максимального значения, т. е. $T_{max} = \frac{ \pi d^{2} }{4} \sigma$, где $d$ - диаметр проволоки.
Масса кольца $m = 2 \pi R \frac{ \pi d^{2} }{4} \rho$.
Следовательно, $\omega^{2} = 2 \pi \frac{ \pi d^{2} \sigma 4 \rho }{ 4R2 \pi R \pi d^{2} }$, откуда
$\omega^{2} = \frac{ \sigma }{ \rho R^{2} }$, или $\omega = \frac{1}{R} \sqrt{ \frac{ \sigma }{ \rho } }$.
Ответ: $\omega = 500 \frac{1}{с}$.
