2020-12-12
Два груза массами $m$ и $M$ связаны нерастяжнмой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис.). Коэффициент трения между грузами и гранями клина $\mu = 0,2$. Угол наклона клина $\alpha = 45^{ \circ}$. Определите, при каком соотношении между массами грузов возможно равновесие системы. Массой нити и блока можно пренебречь.
Решение:
Силы, действующие на грузы, изображены на рисунке а. Для того чтобы груз массой $m$ не двигался вниз, необходимо выполнение соотношения
$mg \leq T \cos \alpha + F_{тр1}$. (1)
где $F_{тр1} = \mu R$ - максимальная сила трения покоя груза массой $m$. Сила реакции $R = T \sin \alpha$. Подставляя $R$ и $F_{тр1}$ в (1), получим:
$mg \leq T \cos \alpha + \mu T \sin \alpha$. (2)
Для того чтобы груз массой $M$ не поднимался по наклонной плоскости, должно выполняться неравенство
$T \leq Mg \sin \alpha + F_{тр2}$, (3)
где $F_{тр2} = \mu N = \mu Mg \cos \alpha$ - максимальная сила трения покоя для груза массой $M$. Подставим выражение для $F_{тр2}$ в (3):
$T \leq Mg \sin \alpha + \mu Mg \cos \alpha$. (4)
Подставляя (4) в (2), получим $\frac{m}{M} \leq \frac{1 + \mu^{2}}{2} \sin 2 \alpha + \mu$. Аналогичным образом рассмотрим условие: груз массой $m$ не двигается вверх, а груз массой $M$ не опускается по плоскости; учтем при этом, что силы трения не изменяются, изменяется лишь их направление (рис. б):
$T \cos \alpha \leq mg + \mu T \sin \alpha$, (5)
$Mg \sin \alpha \leq T + \mu Mg \cos \alpha$. (6)
Подставляя (5) в (б), получим $\frac{m}{M} \geq \frac{1 + \mu^{2} }{2} \sin 2 \alpha - \mu$.
Ответ: $\frac{1 + \mu^{2} }{2} \sin 2 \alpha - \mu \leq \frac{m}{M} \leq \mu + \frac{1 + \mu^{2} }{2} \sin 2 \alpha, 0,32 \leq \frac{m}{M} \leq 0,72$.