Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1455
2016-11-25 
Вычислить период малых колебаний небольшого тела, подвешенного на нити длиной $l$ (математический маятник). Потерями энергии при колебаниях пренебречь.
Решение:
Направим ось $x$ горизонтально, выбрав в качестве начала системы отсчета О равновесное положение тела.
Применяя энергетический подход, запишем выражение для полной механической энергии тела в произвольный момент времени после начала движения.
$\frac{mv^{2}}{2} + mg \frac{x^{2}}{2l} = E$. (1)
Потенциальная энергия в поле (тяжести отсчитывается от точки О, высота тела OA найдена из геометрических соображений с учетом малости $x$ (угла $\alpha$):
$OA = l - AO^{ \prime} = l (1 - \cos \alpha) = l \cdot 2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} = l2 \left ( \frac{x}{2l} \right )^{2} = \frac{x^{2}}{2l}$,
где учтено, что $\in \alpha = \frac{x}{l} \approx \alpha$.
Принимая во внимание, что для малых колебаний $v = v_{x} = x^{ \prime}$ приходим к уравнению стандартного вида:
$v_{x}^{2} + \frac{g}{l} x^{2} = const$. (2)
Откуда находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
Вычислить период малых колебаний небольшого тела, подвешенного на нити длиной $l$ (математический маятник). Потерями энергии при колебаниях пренебречь.
Решение:
Направим ось $x$ горизонтально, выбрав в качестве начала системы отсчета О равновесное положение тела.
Применяя энергетический подход, запишем выражение для полной механической энергии тела в произвольный момент времени после начала движения.
$\frac{mv^{2}}{2} + mg \frac{x^{2}}{2l} = E$. (1)
Потенциальная энергия в поле (тяжести отсчитывается от точки О, высота тела OA найдена из геометрических соображений с учетом малости $x$ (угла $\alpha$):
$OA = l - AO^{ \prime} = l (1 - \cos \alpha) = l \cdot 2 \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} = l2 \left ( \frac{x}{2l} \right )^{2} = \frac{x^{2}}{2l}$,
где учтено, что $\in \alpha = \frac{x}{l} \approx \alpha$.
Принимая во внимание, что для малых колебаний $v = v_{x} = x^{ \prime}$ приходим к уравнению стандартного вида:
$v_{x}^{2} + \frac{g}{l} x^{2} = const$. (2)
Откуда находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{g}{l}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$.
