2020-12-12
Два груза одинаковой массой $M$ соединены стержнем, масса которого $m$. Стержень может выдерживать максимальное натяжение $T_{max}$. Определите силу $F$, приложенную к одному из грузов, при которой произойдет разрыв стержня. Сила направлена параллельно плоскости. Коэффициент трения грузов о горизонтальную поверхность равен $\mu$.
Решение:
Рассмотрим движение грузов и стержня в отдельности. До наступления разрыва стержня они двигаются с одинаковым ускорением. Силы, действующие на тела и стержень, показаны на рисунке: $M \vec{g}$ и $m \vec{g}$ - силы тяжести груза и стержня, $F_{тр} = \mu N$ - сила трения, $N$ - сила реакции опоры, $\vec{F}_{д}$ - сила давления со стороны стержня на груз, $\vec{N}_{1}$ - сила реакции груза на стержень. По третьему закону Ньютона
$\vec{F}_{д} = - \vec{N}_{1}, \vec{T}_{1} = - \vec{T}_{1}^{ \prime}, \vec{T}_{2} = - \vec{T}_{2}^{ \prime }$.
Запишем уравнения второго закона Ньютона для грузов и для стержня в проекции на оси ОХ, и ОY:
$\begin{cases} F - T_{1} - F_{тр} = Ma, \\ T_{2} - F_{тр} = Ma, \\ T_{1} - T_{2} = ma; \end{cases}$ (1)
$\begin{cases} N - Mg - N_{1} = 0, \\ - mg + 2N_{1} = 0. \end{cases}$ (2)
Силы реакции со стороны грузов будем считать одинаковыми из-за симметрии: грузы одинаковые, стержень однородный. Из второй системы определяем силу реакции опоры $N$ и, зная ее, находим силу трения $F_{тр} = \frac{ \mu g}{2} (2M + m )$. Будем считать максимальной силой, разрывающей стержень, силу $T_{1}$. Исключая из уравнений первой системы ускорение и $T_{2}$, находим:
$F = \frac{2M + m}{2(M + m)} [2T_{max} + \mu g (2M + m) ]$.