Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14542
2020-12-12 
Самолет, пролетая над зенитной батареей на высоте $H = 1 км$, начинает пикировать с выключенным двигателем иа цель со скоростью $v_{1} = 540 км/ч$, направленной под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к горизонту. Самолет сбивают выстрелом из орудия, произведенным в тот момент времени, когда он находился над батареей. Определите, на каком расстоянии от батареи, считая по горизонтальному направлению, снаряд попал в свмолет. Скорость снаряда при вылете из ствола орудия $v_{2} = 600 м/с$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Решение:
Будем рассматривать самолет как материальную точку, т. е. при выключенном двигателе это - тело, двигающееся под углом к горизонту в поле тяжести Земли. Систему отсчета свяжем с Землей, начало координат в месте вылета снаряда (рис. а). Запишем уравнения движения для самолета
$\begin{cases} x_{c} = tv_{1} \cos \alpha, \\ y_{c} = H - v_{1} \left ( t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} \right ); \end{cases}$;
для снаряда
$\begin{cases} x_{сн} = tv_{2} \cos \beta, \\ y_{сн} = v_{2} \left ( t \sin \beta - \frac{gt^{2} }{2} \right ) \end{cases}$.
В момент попадания их координаты равны (по горизонтали и снаряд и самолет проходят одинаковые расстояния):
$tv_{1} \cos \alpha = tv_{2} \cos \beta$.
Определим из этого соотношения угол $\beta$ - угол, под которым производится выстрел: $\cos \beta = \frac{ v_{1} \cos \alpha}{ v_{2} }$. Из условия равенства координат по оси OY получим:
$t = \frac{H}{ v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta } = \frac{H}{ v_{1} \sin \alpha + \sqrt{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } }$.
Искомое расстояние
$s = v_{1}t \cos \alpha = \frac{Hv_{1} \cos \alpha }{v_{1} \sin \alpha + \sqrt{ v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } } $,
$s \approx 104 м$.
На самом же деле «пикирование» - это равномерное прямолинейное движение самолета на цель (рис. б). При выключенном моторе крылья и хвост поддерживают самолет в движении. В этом случае в этой же системе отсчета уравнения для самолета изменятся:
$\begin{cases} x_{c} = v_{1}t \cos \alpha, \\ y_{c} = H - v_{1}t \sin \alpha. \end{cases}$
Угол вылета снаряда определяется теми же соотношениями, а время до столкновения уже определяется квадратным уравнением:
$gt^{2} - 2t ( v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta ) + 2H = 0$,
$t = \frac{1}{g} ( v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta ) \pm \sqrt{ (v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta )^{2} - 2gH }$,
$t \approx 15,4 с$.
Расстояние до попадания $s_{1} \approx 1153 м$.
Ответ: $s = \frac{ Hv{1} \cos \alpha}{ v_{1} \sin \alpha + \sqrt{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } }, s \approx 103,5 м, s_{1} \approx 1153 м$.
Самолет, пролетая над зенитной батареей на высоте $H = 1 км$, начинает пикировать с выключенным двигателем иа цель со скоростью $v_{1} = 540 км/ч$, направленной под углом $\alpha = 60^{ \circ}$ к горизонту. Самолет сбивают выстрелом из орудия, произведенным в тот момент времени, когда он находился над батареей. Определите, на каком расстоянии от батареи, считая по горизонтальному направлению, снаряд попал в свмолет. Скорость снаряда при вылете из ствола орудия $v_{2} = 600 м/с$. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Решение:
Будем рассматривать самолет как материальную точку, т. е. при выключенном двигателе это - тело, двигающееся под углом к горизонту в поле тяжести Земли. Систему отсчета свяжем с Землей, начало координат в месте вылета снаряда (рис. а). Запишем уравнения движения для самолета
$\begin{cases} x_{c} = tv_{1} \cos \alpha, \\ y_{c} = H - v_{1} \left ( t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2} \right ); \end{cases}$;
для снаряда
$\begin{cases} x_{сн} = tv_{2} \cos \beta, \\ y_{сн} = v_{2} \left ( t \sin \beta - \frac{gt^{2} }{2} \right ) \end{cases}$.
В момент попадания их координаты равны (по горизонтали и снаряд и самолет проходят одинаковые расстояния):
$tv_{1} \cos \alpha = tv_{2} \cos \beta$.
Определим из этого соотношения угол $\beta$ - угол, под которым производится выстрел: $\cos \beta = \frac{ v_{1} \cos \alpha}{ v_{2} }$. Из условия равенства координат по оси OY получим:
$t = \frac{H}{ v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta } = \frac{H}{ v_{1} \sin \alpha + \sqrt{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } }$.
Искомое расстояние
$s = v_{1}t \cos \alpha = \frac{Hv_{1} \cos \alpha }{v_{1} \sin \alpha + \sqrt{ v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } } $,
$s \approx 104 м$.
На самом же деле «пикирование» - это равномерное прямолинейное движение самолета на цель (рис. б). При выключенном моторе крылья и хвост поддерживают самолет в движении. В этом случае в этой же системе отсчета уравнения для самолета изменятся:
$\begin{cases} x_{c} = v_{1}t \cos \alpha, \\ y_{c} = H - v_{1}t \sin \alpha. \end{cases}$
Угол вылета снаряда определяется теми же соотношениями, а время до столкновения уже определяется квадратным уравнением:
$gt^{2} - 2t ( v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta ) + 2H = 0$,
$t = \frac{1}{g} ( v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta ) \pm \sqrt{ (v_{1} \sin \alpha + v_{2} \sin \beta )^{2} - 2gH }$,
$t \approx 15,4 с$.
Расстояние до попадания $s_{1} \approx 1153 м$.
Ответ: $s = \frac{ Hv{1} \cos \alpha}{ v_{1} \sin \alpha + \sqrt{v_{2}^{2} - v_{1}^{2} \cos^{2} \alpha } }, s \approx 103,5 м, s_{1} \approx 1153 м$.
