Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14541
2020-12-12 
Тело 1 бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0} = 30 м/с$. Тело 2, находящееся на высоте $H = 40 м$ по вертикали и на расстоянии $l = 20 м$ по горизонтали от точки бросания тела 1, бросают горизонтально со скоростью $v_{1} = 20 м/с$. Определите, с каким запаздыванием или опережением $\tau$ надо бросить тело 2, чтобы тела столкнулись в полете. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
Составим уравнения движения для двух тел, выбрав систему координат (ось ОY - вертикальная с началом отсчета в точке бросания тела 1, ось ОХ - горизонтальная). За начало отсчета времени выберем момент бросания тела 1 (рис. а).
$\begin{cases} x_{1} = 0 , (1) \\ y_{1} = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}, (2) \end{cases}$
$\begin{cases} x_{2} = l - v_{1} ( t - \tau ) , (3) \\ y_{2} = H - \frac{g(t - \tau)^{2} }{2}. (4) \end{cases}$
В момент столкновения координаты тел равны:
$v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2} = H - \frac{g(t - \tau )^{2} }{2}$, (5)
$0 = l - v_{1}(t - \tau ) $(6)
Из соотношения (6) получим время движения до столкновения:
$t = \frac{l + v_{1} \tau }{v_{1} }$.
Подставим это выражение в (5), после преобразований получим квадратное уравнение
$\tau^{2} + 2 \tau \left ( \frac{l}{v_{1} } - \frac{v_{0} }{g} \right ) - \frac{2v_{0}l }{gv_{1} } + \frac{2H}{g} = 0$,
решением которого будет время запаздывания
$\tau = \frac{v_{0} }{g} - \frac{l}{v_{1} } \pm \sqrt{ \left ( \frac{v_{0} }{g} \right )^{2} + \left ( \frac{l}{v_{1} } \right )^{2} - \frac{2H}{g} }$.
Проверим размерность:
$[ \tau ] = \frac{м \cdot с^{2} }{с \cdot м} - \frac{м \cdot с}{м} \pm \sqrt{ \frac{ м^{2} \cdot с^{2} }{ м^{2} } } = с$.
Ответ: $\tau = \frac{v_{0} }{g} - \frac{l}{v_{1} } \pm \sqrt{ \left ( \frac{v_{0} }{g} \right )^{2} + \left ( \frac{l}{v_{1} } \right )^{2} - \frac{2H}{g} }, \tau_{1} = 0,6 с, \tau_{1} =3,4 с$.
Тело 1 бросают вертикально вверх с начальной скоростью $v_{0} = 30 м/с$. Тело 2, находящееся на высоте $H = 40 м$ по вертикали и на расстоянии $l = 20 м$ по горизонтали от точки бросания тела 1, бросают горизонтально со скоростью $v_{1} = 20 м/с$. Определите, с каким запаздыванием или опережением $\tau$ надо бросить тело 2, чтобы тела столкнулись в полете. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
Составим уравнения движения для двух тел, выбрав систему координат (ось ОY - вертикальная с началом отсчета в точке бросания тела 1, ось ОХ - горизонтальная). За начало отсчета времени выберем момент бросания тела 1 (рис. а).
$\begin{cases} x_{1} = 0 , (1) \\ y_{1} = v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2}, (2) \end{cases}$
$\begin{cases} x_{2} = l - v_{1} ( t - \tau ) , (3) \\ y_{2} = H - \frac{g(t - \tau)^{2} }{2}. (4) \end{cases}$
В момент столкновения координаты тел равны:
$v_{0}t - \frac{gt^{2} }{2} = H - \frac{g(t - \tau )^{2} }{2}$, (5)
$0 = l - v_{1}(t - \tau ) $(6)
Из соотношения (6) получим время движения до столкновения:
$t = \frac{l + v_{1} \tau }{v_{1} }$.
Подставим это выражение в (5), после преобразований получим квадратное уравнение
$\tau^{2} + 2 \tau \left ( \frac{l}{v_{1} } - \frac{v_{0} }{g} \right ) - \frac{2v_{0}l }{gv_{1} } + \frac{2H}{g} = 0$,
решением которого будет время запаздывания
$\tau = \frac{v_{0} }{g} - \frac{l}{v_{1} } \pm \sqrt{ \left ( \frac{v_{0} }{g} \right )^{2} + \left ( \frac{l}{v_{1} } \right )^{2} - \frac{2H}{g} }$.
Проверим размерность:
$[ \tau ] = \frac{м \cdot с^{2} }{с \cdot м} - \frac{м \cdot с}{м} \pm \sqrt{ \frac{ м^{2} \cdot с^{2} }{ м^{2} } } = с$.
Ответ: $\tau = \frac{v_{0} }{g} - \frac{l}{v_{1} } \pm \sqrt{ \left ( \frac{v_{0} }{g} \right )^{2} + \left ( \frac{l}{v_{1} } \right )^{2} - \frac{2H}{g} }, \tau_{1} = 0,6 с, \tau_{1} =3,4 с$.
