Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 14540
2020-12-12 
Тело массой $m = 400 г$ брошено с некоторой высоты по направлению к земле под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Начальная скорость тела $v_{0} = 20 м/с$. Определите, через сколько времени скорость тела будет направлена под углом $\beta = 60^{ \circ}$ к горизонту. Определите изменение потенциальной энергии тела за это время. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
В этой задаче рассматриваются только скорость и ее составляющие. В горизонтальном направлении нет никаких сил, следовательно, горизонтальная составляющая скорости не меняется. В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести, тело движется с ускорением свободного падения $g$. Поэтому вертикальная составляющая скорости увеличивается: $v_{в} = v_{0} \sin \alpha + gt$. Тангенс угла $\beta$ определяется как отношение вертикальной составляющей скорости к горизонтальной составляющей (см. треугольник АВС на рис. 1.11.):
$tg \beta = \frac{v_{0} \sin \alpha + gt }{v_{0} \cos \alpha }$.
Выразим время
$t = \frac{ tg \beta v_{0} \cos \alpha - v_{0} \sin \alpha}{g}$.
После некоторых математических преобразований получим:
$t = \frac{v_{0} \sin ( \beta - \alpha ) }{g \cos \beta}$.
Изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической - это следует из закона сохранения энергии для замкнутой системы тело - Земля; сопротивлением воздуха пренебрегаем, а сила тяжести - консервативная сила (работа этой силы не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек положения тела). Конечную скорость определим как векторную сумму скоростей (см. рис.). Численное значение этой скорости определим по теореме Пифагора для треугольника АСВ:
$v^{2} = v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + (v_{0} \sin \alpha + gt )^{2}$.
Или из тригонометрических соотношении для треугольника АСВ:
$v = \frac{v_{0} \cos \alpha}{ \cos \beta}$.
Изменение потенциальной энергии:
$\Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = \frac{m}{2} \left ( v_{0}^{2} - v_{0}^{2} \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right )$,
$\Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right )$.
Проверим размерность:
$[ \Delta E_{п} ] = \frac{ кг \cdot м^{2} }{ с^{2} } = Дж$;
$[t] = \frac{м \cdot с^{2} }{с \cdot м} = с$.
Ответ: $t = \frac{v_{0} \sin ( \beta - \alpha ) }{ g \cos \beta }, t = 2 c; \Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right ), \Delta E_{п} = - 160 Дж$.
Тело массой $m = 400 г$ брошено с некоторой высоты по направлению к земле под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к горизонту. Начальная скорость тела $v_{0} = 20 м/с$. Определите, через сколько времени скорость тела будет направлена под углом $\beta = 60^{ \circ}$ к горизонту. Определите изменение потенциальной энергии тела за это время. Ускорение свободного падения $g \approx 10 м/с^{2}$.
Решение:
В этой задаче рассматриваются только скорость и ее составляющие. В горизонтальном направлении нет никаких сил, следовательно, горизонтальная составляющая скорости не меняется. В вертикальном направлении на тело действует сила тяжести, тело движется с ускорением свободного падения $g$. Поэтому вертикальная составляющая скорости увеличивается: $v_{в} = v_{0} \sin \alpha + gt$. Тангенс угла $\beta$ определяется как отношение вертикальной составляющей скорости к горизонтальной составляющей (см. треугольник АВС на рис. 1.11.):
$tg \beta = \frac{v_{0} \sin \alpha + gt }{v_{0} \cos \alpha }$.
Выразим время
$t = \frac{ tg \beta v_{0} \cos \alpha - v_{0} \sin \alpha}{g}$.
После некоторых математических преобразований получим:
$t = \frac{v_{0} \sin ( \beta - \alpha ) }{g \cos \beta}$.
Изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической - это следует из закона сохранения энергии для замкнутой системы тело - Земля; сопротивлением воздуха пренебрегаем, а сила тяжести - консервативная сила (работа этой силы не зависит от формы пути, а зависит только от начальной и конечной точек положения тела). Конечную скорость определим как векторную сумму скоростей (см. рис.). Численное значение этой скорости определим по теореме Пифагора для треугольника АСВ:
$v^{2} = v_{0}^{2} \cos^{2} \alpha + (v_{0} \sin \alpha + gt )^{2}$.
Или из тригонометрических соотношении для треугольника АСВ:
$v = \frac{v_{0} \cos \alpha}{ \cos \beta}$.
Изменение потенциальной энергии:
$\Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} - \frac{mv^{2} }{2} = \frac{m}{2} \left ( v_{0}^{2} - v_{0}^{2} \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right )$,
$\Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right )$.
Проверим размерность:
$[ \Delta E_{п} ] = \frac{ кг \cdot м^{2} }{ с^{2} } = Дж$;
$[t] = \frac{м \cdot с^{2} }{с \cdot м} = с$.
Ответ: $t = \frac{v_{0} \sin ( \beta - \alpha ) }{ g \cos \beta }, t = 2 c; \Delta E_{п} = \frac{mv_{0}^{2} }{2} \left ( 1 - \frac{ \cos^{2} \alpha }{ \cos^{2} \beta } \right ), \Delta E_{п} = - 160 Дж$.
