Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1454
2016-11-25 
Вычислить период (циклическую частоту) колебаний тела массой $m$ на пружине жесткости $k$ (см. рис.). Трением тела о плоскость пренебречь.
Решение:
Выберем ось $x$ с началом отсчета в точке О — положении тела в состоянии равновесия (пружина не-деформирована). Пусть в произвольный момент времени после выведения тела из положения равновесия координата тела равна $x$.
1. Применим динамический подход, записав закон Ньютона в проекции на ось $x$:
$F_{x} = ma_{x}$, (1)
где, согласно закону Гука:
$F_{x} = -kx$. (2)
Справедливость соотношения (2) проверяем непосредственно: действительно, при положительных $x$ направление силы упругости противоположно оси $x$, и, следовательно, (2) верно. Аналогично убеждаемся, что при отрицательных $x$ соотношение (2) так же справедливо.
Подставляя (2) в (1) и учитывая обозначение $a_{x} = x^{ \prime \prime}$, получаем:
$x^{ \prime \prime} + \frac{k}{m} x = 0$. (3)
Сравнивая (3) с уравнением стандартного вида (1) из введения, находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
2. Решая задачу с помощью энергетического подхода, запишем полную механическую энергию системы в произвольный момент времени после выведения системы (тела) из положения равновесия:
$\frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2} = E$. (4)
Полагая, что в процессе движения механическая энергия $E$ сохраняется, получаем
$v_{x}^{2} + \frac{k}{m} x^{2} = const$
уравнение стандартного вида. Следовательно:
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Вычислить период (циклическую частоту) колебаний тела массой $m$ на пружине жесткости $k$ (см. рис.). Трением тела о плоскость пренебречь.
Решение:
Выберем ось $x$ с началом отсчета в точке О — положении тела в состоянии равновесия (пружина не-деформирована). Пусть в произвольный момент времени после выведения тела из положения равновесия координата тела равна $x$.
1. Применим динамический подход, записав закон Ньютона в проекции на ось $x$:
$F_{x} = ma_{x}$, (1)
где, согласно закону Гука:
$F_{x} = -kx$. (2)
Справедливость соотношения (2) проверяем непосредственно: действительно, при положительных $x$ направление силы упругости противоположно оси $x$, и, следовательно, (2) верно. Аналогично убеждаемся, что при отрицательных $x$ соотношение (2) так же справедливо.
Подставляя (2) в (1) и учитывая обозначение $a_{x} = x^{ \prime \prime}$, получаем:
$x^{ \prime \prime} + \frac{k}{m} x = 0$. (3)
Сравнивая (3) с уравнением стандартного вида (1) из введения, находим:
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
2. Решая задачу с помощью энергетического подхода, запишем полную механическую энергию системы в произвольный момент времени после выведения системы (тела) из положения равновесия:
$\frac{mv_{x}^{2}}{2} + \frac{kx^{2}}{2} = E$. (4)
Полагая, что в процессе движения механическая энергия $E$ сохраняется, получаем
$v_{x}^{2} + \frac{k}{m} x^{2} = const$
уравнение стандартного вида. Следовательно:
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{m}}; T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
